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Exo Maths X MP #26 - sin(z) comme produit infini


Published
Revised
November 26, 2020
4 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit .

1. Déterminer les racines de .

2. Calculer la limite de  pour  fixé lorsque .

3. En déduire que .

Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi), Chadi Sammou (MP, Mohamed V) et Lucas Willems (MP*, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  une racine de .  car sinon on aurait . Ainsi :



Pour , notons .

 est de degré au plus . Or, par injectivité de  sur , les  sont tous différents. Donc  a  racines simples, qui sont les .

Question 2

Montrons que . Si on note  le coefficient dominant de  et qu'on remarque que , on a :



On remarque que :

  •  en dérivant  puis en évaluant en ,
  •  en dérivant , puis en évaluant en .

Donc .

En remarquant que , on peut intuiter que . Montrons-le.

L'idée est d'introduire  et d'appliquer le théorème de la double limite sur cette quantité.

On remarque que . Or :

  • , i.e. 
  • 
  •  est une constante ne dépendant que de .

Donc  converge normalement sur , donc  converge uniformément sur  vers .

De plus, pour tout , .

D'après le théorème de la double limite,  converge,  converge aussi, et toutes deux ont même limite, c'est-à-dire :



Question 3

Notons . Après développement, on obtient :



Par définition, . Notons  la somme partielle. On a :



On remarque que :



Donc :



Or :

  • ,
  • .

Donc . Comme  par définition, .

Comme , on en déduit que . Or, d'après la question 2, on a aussi . Donc :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.