Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit .
1. Déterminer les racines de .
2. Calculer la limite de pour fixé lorsque .
3. En déduire que .
Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi), Chadi Sammou (MP, Mohamed V) et Lucas Willems (MP*, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
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Soit une racine de . car sinon on aurait . Ainsi :
Pour , notons .
est de degré au plus . Or, par injectivité de sur , les sont tous différents. Donc a racines simples, qui sont les .
Montrons que . Si on note le coefficient dominant de et qu'on remarque que , on a :
On remarque que :
Donc .
En remarquant que , on peut intuiter que . Montrons-le.
L'idée est d'introduire et d'appliquer le théorème de la double limite sur cette quantité.
On remarque que . Or :
Donc converge normalement sur , donc converge uniformément sur vers .
De plus, pour tout , .
D'après le théorème de la double limite, converge, converge aussi, et toutes deux ont même limite, c'est-à-dire :
Notons . Après développement, on obtient :
Par définition, . Notons la somme partielle. On a :
On remarque que :
Donc :
Or :
Donc . Comme par définition, .
Comme , on en déduit que . Or, d'après la question 2, on a aussi . Donc :
Exos Maths X MP
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