Exo Maths X MP #26 - sin(z) comme produit infini

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $P_n(z)=\frac{1}{2i}\left((1+i\frac{z}{2n+1}{)}^{2n+1}-(1-i\frac{z}{2n+1}{)}^{2n+1}\right)$.

1. Déterminer les racines de $P_n$.

2. Calculer la limite de $P_n(z)$ pour $z$ fixé lorsque $n\to +\infty$.

3. En déduire que $\sin (z)=z{\prod }_{k=1}^{\infty }\left(1-{\left(\frac{z}{k\pi }\right)}^2\right)$.

Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi), Chadi Sammou (MP, Mohamed V) et Lucas Willems (MP*, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

Soit $z$ une racine de $P_n(z)$. $z\ne (\frac{2n+1}{i})$ car sinon on aurait $2^{2n+1}=0$. Ainsi :

Pour $k\in [[0,2n]]$, notons $z_{k,n}=(2n+1)\tan \left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)$.

$P_n$ est de degré au plus $2n+1$. Or, par injectivité de $\tan$ sur $[0,\frac{\pi }{2}[\cup ]\frac{\pi }{2},\pi ]$, les $(z_{k,n}{)}_k$ sont tous différents. Donc $P_n$ a $2n+1$ racines simples, qui sont les $(z_{k,n}{)}_k$.

Question 2

Montrons que $P_n(z)=z{\prod }_{k=1}^n(1-(\frac{z}{z_{k,n}}{)}^2)$. Si on note $a_{2n+1}$ le coefficient dominant de $P_n$ et qu'on remarque que $z_{k,n}=-z_{n+1-k,n}$, on a :

On remarque que :

• $P_n^{\prime }(0)=a_{2n+1}{\prod }_{k=1}^{2n}{z}_{k,n}$ en dérivant $z\mapsto a_{2n+1}z{\prod }_{k=1}^{2n}(z-z_{k,n})$ puis en évaluant en $0$,
• $P_n^{\prime }(0)=1$ en dérivant $z\mapsto \frac{1}{2i}\left((1+i\frac{z}{2n+1}{)}^{2n+1}-(1-i\frac{z}{2n+1}{)}^{2n+1}\right)$, puis en évaluant en $0$.

Donc $P_n(z)=z{\prod }_{k=1}^n(1-(\frac{z}{z_{k,n}}{)}^2)$.

En remarquant que $(2n+1)\tan \left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)\underset{n\to \infty }{\to }k\pi$, on peut intuiter que $P_n(z)\underset{n\to \infty }{\to }z{\prod }_{k=1}^{\infty }\left(1-{\left(\frac{z}{k\pi }\right)}^2\right)$. Montrons-le.

L'idée est d'introduire $v_i(n)=z{\prod }_{k=1}^{\min (i,n)}\left(1-(\frac{z}{z_{k,n}}{)}^2\right)$ et d'appliquer le théorème de la double limite sur cette quantité.

On remarque que $v_i(n)=v_1(n)+{\sum }_{j=2}^i(v_j(n)-v_{j-1}(n))$. Or :

• $z_{k,n}\ge {\pi }^2{j}^2$, i.e. $\frac{1}{z_{k,n}}\le \frac{1}{{\pi }^2{j}^2}$
• $|v_j(n)|\le |z|{\prod }_{j=1}^k(1+\frac{{|z|}^2}{{\pi }^2{j}^2})\le |z|\exp \left({\sum }_{j=1}^m\frac{{|z|}^2}{{\pi }^2{j}^2}\right)\le |z|\exp \left({\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{{|z|}^2}{{\pi }^2{j}^2}\right)$
• $|v_j(n)-v_{j-1}(n)|\le |v_{j-1}(n)|(\frac{|z|}{z_{j,n}}{)}^2\le C\frac{1}{j^2}$ où $C=\exp \left({\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{{|z|}^2}{{\pi }^2{j}^2}\right)\frac{|z{|}^3}{{\pi }^2}$ est une constante ne dépendant que de $z$.

Donc $(v_j-v_{j-1}{)}_j$ converge normalement sur $\mathbb{N}$, donc $(v_i{)}_i$ converge uniformément sur $\mathbb{N}$ vers $n\mapsto {\lim }_{i\to \infty }{v}_i(n)=P_n(z)$.

De plus, pour tout $i\in \mathbb{N}$, $v_i(n)\underset{n\to \infty }{\to }z{\prod }_{k=1}^i\left(1-(\frac{z}{k\pi }{)}^2\right)$.

D'après le théorème de la double limite, $(z{\prod }_{k=1}^i\left(1-(\frac{z}{k\pi }{)}^2\right){)}_i$ converge, $(P_n(z){)}_n$ converge aussi, et toutes deux ont même limite, c'est-à-dire :

Question 3

Notons $A_n(z)=(1+i\frac{z}{2n+1}{)}^{2n+1}$. Après développement, on obtient :

Par définition, $\exp (iz)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(iz{)}^k}{k!}$. Notons $S_n(z)={\sum }_{k=0}^{2n+1}\frac{(iz{)}^k}{k!}$ la somme partielle. On a :

On remarque que :

Donc :

Or :

• ${\sum }_{j=0}^{2n+1}\frac{|z{|}^k}{k!}\underset{n\to \infty }{\to }\exp (|z|)$,
• ${\sum }_{j=0}^{2n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{k}\right)\frac{|z{|}^k}{(2n+1{)}^k}=(1+\frac{|z|}{2n+1}{)}^{2n+1}\underset{n\to \infty }{\to }\exp \left(|z|\right)$.

Donc $|A_n(z)-S_n(z)|\underset{n\to \infty }{\to }0$. Comme $S_n(z)\underset{n\to \infty }{\to }\exp (z)$ par définition, $A_n(z)\underset{n\to \infty }{\to }\exp (z)$.

Comme $P_n(z)=\frac{1}{2i}(A(z)-A(-z))$, on en déduit que $P_n(z)\underset{n\to \infty }{\to }\sin (z)$. Or, d'après la question 2, on a aussi $P_n(z)\underset{n\to \infty }{\to }z{\prod }_{k=1}^{\infty }(1-(\frac{z}{k\pi }{)}^2)$. Donc :