Exo Maths X MP #49 - Trace (A+B)^p modulo p

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ et $p$ un nombre premier. Montrer que $\text{Tr}((A+B{)}^p)\equiv \text{Tr}(A^p)+\text{Tr}(B^p)[p]$.

Merci à Ulysse Nps d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ et $p$ un nombre premier. Notons $E=\{0,1{\}}^p$ et pour tout $e\in E$, $(AB{)}_e=A^{e_1}{B}^{1-e_1}\cdots A^{e_p}{B}^{1-e_p}$. Ainsi :

Notons $\sigma :\begin{array}{ccc}E& ⟶& E\\ (e_1,e_2\cdots ,e_p)& ⟼& (e_2,\cdots ,e_p,e_1)\end{array}$ et $\Re$ la relation binaire sur $E$ définie par $e\Re e^{\prime }⟺\exists k\in \mathbb{Z},e={\sigma }^k(e^{\prime })$.

$\Re$ est une relation d'équivalence car elle est :

• réflexive : $e={\sigma }^0(e)$,
• symétrique : $e={\sigma }^k(e^{\prime })⟺e^{\prime }={\sigma }^{-k}(e)$,
• transitive : $(e=\sigma (e^{\prime }))\wedge (e^{\prime }={\sigma }^l(e^{\prime \prime }))⟹e={\sigma }^{k+l}(e^{\prime \prime })$.

Si $e\Re e^{\prime }$, alors $\text{Tr}((AB{)}_e)=\text{Tr}((AB{)}_{e^{\prime }})$ puisque $\forall M,N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C}),\text{Tr}(MN)=\text{Tr}(NM)$. Ainsi :

Soit $e\in E$. Étudions le cardinal de sa classe d'équivalence $\bar{e}$ :

• Si $e=\{0,...,0\}$ ou $\{1,...,1\}$, $\bar{e}=\{e\}$ et donc $|\bar{e}|=1$.
• Sinon, $\bar{e}=\{e,{\sigma }^2(e),...,{\sigma }^{p-1}(e)\}$ car ${\sigma }^p={\text{Id}}_E$. De plus, $|\bar{e}|=p$ puisque s'il existait $k\in [[1,p-1]]$ tel que ${\sigma }^k(e)=e$, d'après Bézout, il existerait $a,b\in \mathbb{Z}$ tel que $ak+bp=\text{PGCD}(k,p)=1$, donc $\sigma (e)={\sigma }^{ak+bp}=({\sigma }^k{)}^a=e$ et donc $\forall i\in [[1,p-1]]$, $e_i=e_{i+1}$, i.e. $e=\{0,\cdots ,0\}$ ou $\{1,\cdots ,1\}$, absurde.

On en conclut que :