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Exo Maths X MP #49 - Trace (A+B)^p modulo p


Published
Revised
January 26, 2021
6 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  et  un nombre premier. Montrer que .

Merci à Ulysse Nps d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soient  et  un nombre premier. Notons  et pour tout , . Ainsi :



Notons  et  la relation binaire sur  définie par .

 est une relation d'équivalence car elle est :

  • réflexive : ,
  • symétrique : ,
  • transitive : .

Si , alors  puisque . Ainsi :



Soit . Étudions le cardinal de sa classe d'équivalence  :

  • Si  ou ,  et donc .
  • Sinon,  car . De plus,  puisque s'il existait  tel que , d'après Bézout, il existerait  tel que , donc  et donc , , i.e.  ou , absurde.

On en conclut que :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.