Exo Maths X MP #61 - Limite d'une suite

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Révisé

March 31, 2021

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

On note $\forall n \in N, S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - 2 n$ .

1. Montrer que $(S_{n})$ converge.

2. Montrer que la limite de $(S_{n})$ est négative. On note cette limite $- l$ .

3. Montrer que $l = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ( n + n - 1 ) ^{2}}$ .

4. Montrer que $l = (1 + 2) \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ .

Merci à Reda Belhaj d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Anas Orjy (MP*, Mohamed V) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Définissons $f : x ⟼ \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ et $\forall n \in [[2, + \infty [[$ :

w_{n} = k = 1 \sum n - 1 (f (k) - \int_{k}^{k + 1} f (t) d t)

$(w_{n})_{n}$ est convergente car :

$(w_{n})_{n}$ est croissante puisque $f$ est décroissante,
$w_{n} \leq \sum_{k = 1}^{n - 1} f (k) - f (k + 1) = f (1) - f (n) \leq f (1)$ .

Or :

w_{n} = k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{k} - \int_{1}^{n} \frac{1}{t} d t = k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{k} - 2 (n - 1) = S_{n} - \frac{1}{n} + 2

Autrement dit, $S_{n} = w_{n} + \frac{1}{n} - 2$ , donc $(S_{n})_{n}$ converge.

Par décroissance de $f$ :

k = 2 \sum n \frac{1}{k} \leq \int_{1}^{n} \frac{1}{t} d t = 2 n - 2

Donc :

k = 1 \sum n \frac{1}{k} - 2 n \leq - 1

Donc $S_{n} \leq 0$ et la limite de $(S_{n})_{n}$ est négative.

On remarque que :

\frac{1}{k ( k + k - 1 ) ^{2}} = \frac{( k - k - 1 ) ^{2}}{k ( k + k - 1 ) ^{2} ( k - k - 1 ) ^{2}} = \frac{2 k - 1 - 2 k k - 1}{k} = 2 (k - k - 1) - \frac{1}{k}

Donc :

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + k - 1 ) ^{2}} = k = 1 \sum n 2 (k - k - 1) - \frac{1}{k} = 2 n - k = 1 \sum n \frac{1}{k} = - S_{n}

En passant à la limite :

l = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + n - 1 ) ^{2}}

On remarque que :

S_{n} = 2 (k = 1 \sum n \frac{1}{2 k} - 2 n)

Donc :

n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{2 k} - 2 n = - \frac{l}{2}

Or :

S_{2 n} = k = 1 \sum 2 n \frac{1}{k} - 2 2 n = k = 1 \sum n \frac{1}{2 k} - 2 n + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2 k + 1} - 2 n

Donc :

n \to \infty lim k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2 k + 1} - 2 n = - l + \frac{l}{2}

On remarque aussi que :

k = 1 \sum 2 n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k} = (k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2 k + 1} - 2 n) - (k = 1 \sum n \frac{1}{2 k} - 2 n)

Donc :

n \to \infty lim k = 1 \sum 2 n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k} = - l + \frac{l}{2} + \frac{l}{2} = l (2 - 1)

Ainsi :

l = (1 + 2) k = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k}

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