Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit et continue telle que . Discuter de l'existence et de l'unicité de dérivable telle que et .
Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
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D'après la méthode de la variation de la constante, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions :
Étape 1 : Unicité. Soit une solution de l'équation différentielle et supposons que de carré intégrable.
Si , car . Ainsi :
et étant de carré intégrable, est donc aussi de carré intégrable.
Si , car . Ainsi :
Donc est intégrable sur . Or, . Donc admet des limites en et . Or, est intégrable sur . Donc et donc :
C'est-à-dire que est fini et :
D'où nécessairement :
Étape 2 : Existence. Soit .
Comme , est intégrable sur . Donc est bien définie sur et de classe . On vérifie facilement que . Montrons que est de carré intégrable sur .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur et :
Or . Donc :
Soit . En faisant une intégration par partie :
Par décroissance de sur :
Donc :
Donc est intégrable sur .
Soit . De même :
Donc est intégrable sur .
Exos Maths X MP
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