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Exo Maths X MP #40 - Polynôme trigonométrique d'une fonction


Published
Revised
December 30, 2020
5 days ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit  une fonction dérivable -périodique.

Posons .

Montrer que .

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  une fonction dérivable -périodique. Soit . On note :



On veut montrer que .

On remarque d'une part que , que  pour  et donc que :



On remarque d'autre part que :



En faisant le changement de variable  et en utilisant la -périodicité de  :



On étudie maintenant la différence :



Or pour  :



Donc :



On introduit la fonction  :



 est continue sur  et admet une limite en  et  :




Donc  admet un prolongement continu  sur . Ainsi :



On suppose dans un premier temps que  est de classe . Alors :



On ne suppose plus  de classe . La suite de fonctions  de classe  converge uniformément vers . Pour  assez grand, , et pour tout ,  :



Ainsi :



C'est-à-dire :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.