Exo Maths X MP #48 - Limite de séries

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Révisé

January 21, 2021

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $(a_{n})_{n}$ une suite d'entiers telle que $lim_{n \to + \infty} \frac{n}{a _{n}} = 0$ . Calculer $lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{a_{n}}$ .

Merci à Abdellah Bulaich d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Intuitivement, $\frac{n}{a _{n}} n \to \infty 0$ laisse penser que $\sum_{k = 0}^{+ \infty} x^{a_{n}}$ est négligeable en $1$ devant $\sum_{k = 0}^{+ \infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ , donc que $(1 - x) \sum_{k = 0}^{+ \infty} x^{a_{n}}$ est négligeable en $1$ devant $1$ .

Soit $ε > 0$ . D'après l'énoncé, $\frac{n}{a _{n}} n \to \infty 0$ , donc il existe $N \in N$ tel que $\forall n \geq N, \frac{n}{a _{n}} \leq ε$ i.e. $a_{n} \geq \frac{n}{ε}$ .

Pour tout $x \in] 0, 1 [$ :

(1 - x) n = 0 \sum + \infty x^{a_{n}} = (1 - x) n = 0 \sum N - 1 x^{a_{n}} + (1 - x) n = N \sum + \infty x^{a_{n}} \leq (1 - x) N + (1 - x) n = N \sum + \infty x^{n / ε} \leq (1 - x) N + (1 - x) x^{N / ε} \frac{1}{1 - x ^{1 / ε}}

Or :

1 - x^{1 / ε} = 1 - (1 - (1 - x))^{1 / ε} = 1 - (1 - \frac{1}{ε} (1 - x) + o_{x \to 1} (1 - x)) \sim_{x \to 1} \frac{1}{ε} (1 - x)

Donc :

(1 - x) N + (1 - x) x^{N / ε} \frac{1}{1 - x ^{1 / ε}} x \to 1^{-} ε

Donc il existe $η \in] 0, 1 [, \forall x \in] 1 - η, 1 [$ :

(1 - x) N + (1 - x) x^{N / ε} \frac{1}{1 - x ^{1 / ε}} \leq 2 ε

Ceci prouve que $(1 - x) \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{a_{n}} x \to 1^{-} ⟶ 0$

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