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Exo Maths X MP #31 - Une limite d'intégrales


Published
Revised
December 15, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit  continue. Soit  continue -périodique.

1. Calculer .

2. Calculer .

Merci à Dan Berrebbi d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Blaise Jacob (MP*, Henri IV), Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) et Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1 (version sommes de Riemann)

Soit  :



On pose  :



Par -périodicité :



Montrons que la suite de fonctions  converge uniformément vers la fonction constante .

Soit .  est continue sur  compact, donc d'après le théorème de Heine, elle y est uniformément continue. Soit  un module d'uniforme continuité de  pour .

. Donc pour  assez grand, , .

Soit . On pose :



On a la majoration suivante :



Premièrement, . Pour  assez grand, . Par uniforme continuité,  et .

Deuxièmement,  en reconnaissant une somme de Riemann. Pour  assez grand, .

Donc pour un  assez grand indépendent de , . Donc la suite de fonctions  converge uniformément vers .

 étant continue sur  compact, elle est bornée sur le segment et donc  converge uniformément vers . Ainsi :



Question 1 (version escalier)

Soit  continue et  continue  périodique.

Introduisons la suite des fonctions en escalier  définie par :



Pour tout  et  intégrable sur , on note :

  • ,
  • .

Étape 1 : .

Soit  et  :



Avec le changement de variable  :



Par l'algorithme de la division euclidienne,  avec  et . Ainsi :



Comme  est -périodique et que  :



Donc pour tout  :



Étape 2 : .

 étant compact, par le théorème de Heine,  y est uniformément continue et converge uniformément vers .

Soit . Il existe  tel que . Donc :



Or :

  • ,
  •  d'après l'étape précédente, donc pour  assez grand, ,
  • 

Donc pour  assez grand, . Ainsi :



C'est-à-dire :



Question 1 (version Riemann-Lebesgue)

On peut supposer  quitte à effectuer un changement de variable linéaire.

Étape 1 :  pour .



Le résultat est aussi vrai si on remplace  par .

Étape 2 :  pour .

Soit  est une fonction continue. Les fonctions  sont de classe .

De plus, on peut montrer que  converge uniformément vers . Soit . Par le théorème de Heine, il existe un module  d'uniforme continuité de  sur . Soit .  et :



Ainsi  et la convergence est uniforme.

Maintenant, pour tout  :



Pour  assez grand, . D'après l'étape 1, à partir d'un certain rang , .

Donc à partir d'un certain rang , . Ainsi :



Le résultat est aussi vrai si on remplace  par .

Étape 3 :  pour  et  polynôme trigonométrique.

Soit  est un polynôme trigonométrique, i.e. .

On a vu que  si  ou , donc pour  par linéarité. Si , c'est également le cas pour  :



Ainsi :



Or,  (car la moyenne de  est nulle sur une période pour ). La limite de la suite est donc .

Étape 4 :  pour  et  continue -périodique.

D'après le théorème de Weierstrass trigonométrique (hors-programme), il existe une suite  de polynômes trigonométrique qui converge uniformément vers  sur . Cette convergence est uniforme sur  par -périodicité de .

Pour tout  et  intégrable sur , on note :

  • ,
  • .

Soit . Pour tout  entiers :



Or :

  • ,
  •  d'après l'étape 3,
  • .

En fixant  tel que , à partir d'un certain rang  :



Donc :



Question 2

En appliquant la question 1 à  continue sur ,  continue sur  -périodique et  :



Par -périodicité :



On pose , et avec  :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.