Exo Maths X MP #31 - Une limite d'intégrales

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit $f:[0,b]\to \mathbb{R}$ continue. Soit $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue $b$-périodique.

1. Calculer ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{b}f(t)g(nt)dt$.

2. Calculer ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin (t)}{1+3{\cos }^2(nt)}dt$.

Merci à Dan Berrebbi d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Blaise Jacob (MP*, Henri IV), Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) et Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1 (version sommes de Riemann)

Soit $n\in \mathbb{N}$ :

On pose $t=(u+bk)/n$ :

Par $b$-périodicité :

Montrons que la suite de fonctions $(u\mapsto \frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(\frac{u}{n}+\frac{bk}{n}){)}_n$ converge uniformément vers la fonction constante $u\mapsto \frac{1}{b}{\int }_0^{b}f(t)dt$.

Soit $\epsilon >0$. $f$ est continue sur $[0,b]$ compact, donc d'après le théorème de Heine, elle y est uniformément continue. Soit $\eta$ un module d'uniforme continuité de $f$ pour $\epsilon$.

$\frac{b}{n}\underset{n\to \infty }{\to }0<\eta$. Donc pour $n$ assez grand, $\forall u\in [0,b]$, $|\frac{u}{n}|\le |\frac{b}{n}|\le \eta$.

Soit $u\in [0,b]$. On pose :

On a la majoration suivante :

Premièrement, $A_n\le \frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\left|f(\frac{u}{n}+\frac{bk}{n})-f(\frac{bk}{n})\right|$. Pour $n$ assez grand, $\left|\frac{b}{n}\right|\le \eta$. Par uniforme continuité, $\forall u\in [0,b],|f(\frac{u}{n}+\frac{bk}{n})-f(\frac{bk}{n})|\le \epsilon$ et $A_n\le \epsilon$.

Deuxièmement, $B_n=\frac{1}{b}\left|\frac{b}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(\frac{bk}{n})-{\int }_0^{b}f(t)dt\right|\underset{n\to \infty }{\to }0$ en reconnaissant une somme de Riemann. Pour $n$ assez grand, $B_n\le \epsilon$.

Donc pour un $n$ assez grand indépendent de $u$, ${\Delta }_n\le 2\epsilon$. Donc la suite de fonctions $(u\mapsto \frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f(\frac{u}{n}+\frac{bk}{n}){)}_n$ converge uniformément vers $u\mapsto \frac{1}{b}{\int }_0^{b}f(t)dt$.

$g$ étant continue sur $[0,b]$ compact, elle est bornée sur le segment et donc $(g{f}_n)$ converge uniformément vers $g\frac{1}{b}{\int }_0^{b}f(t)dt$. Ainsi :

Question 1 (version escalier)

Soit $f:[0,b]\to \mathbb{R}$ continue et $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue $b$ périodique.

Introduisons la suite des fonctions en escalier ${\left(f_m\right)}_{m\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ définie par :

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $f$ intégrable sur $[0,b]$, on note :

• $I_{f,n}={\int }_0^{b}f(t)g(nt)dt$,
• $l_f=\frac{1}{b}\left({\int }_0^{b}f(t)dt\right)\left({\int }_0^{b}g(t)dt\right)$.

Étape 1 : $\forall m\in {\mathbb{N}}^{\ast },I_{f_m,n}\underset{n\to \infty }{\to }{l}_{f_m}$.

Soit $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

Avec le changement de variable $s=nt$ :

Par l'algorithme de la division euclidienne, $n=qm+r$ avec $q\in \mathbb{Z}$ et $r\in [[0,m[[$. Ainsi :

Comme $w$ est $b$-périodique et que ${\int }_0^{b}w(s)ds=0$ :

Donc pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

Étape 2 : $\forall m\in {\mathbb{N}}^{\ast },I_{f,n}\underset{n\to \infty }{\to }{l}_f$.

$[0,b]$ étant compact, par le théorème de Heine, $f$ y est uniformément continue et${\left(f_m\right)}_{m\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ converge uniformément vers $f$.

Soit $\epsilon >0$. Il existe $M\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\Vert f-f_M{\Vert }_{\infty }⩽\epsilon$. Donc :

Or :

• $\left|I_{f,n}-I_{f_M,n}\right|⩽b\Vert g{\Vert }_{\infty }\Vert f-f_M{\Vert }_{\infty }⩽b\Vert g{\Vert }_{\infty }\epsilon$,
• $\left|I_{f_M,n}-l_{f_M}\right|\underset{n\to \infty }{\to }0$ d'après l'étape précédente, donc pour $n$ assez grand, $\left|I_{f_M,n}-l_{f_M}\right|\le \epsilon$,
• $\left|l_{f_M}-l_f\right|⩽\Vert g{\Vert }_{\infty }\Vert f-f_M{\Vert }_{\infty }⩽\Vert g{\Vert }_{\infty }\epsilon$

Donc pour $n$ assez grand, $\left|I_{f,n}-l_f\right|\le (b\Vert g{\Vert }_{\infty }+1+\Vert g{\Vert }_{\infty })\epsilon$. Ainsi :

C'est-à-dire :

Question 1 (version Riemann-Lebesgue)

On peut supposer $b=2\pi$ quitte à effectuer un changement de variable linéaire.

Étape 1 : ${\int }_0^{b}f(t)\cos \left(nt\right)dt\underset{n\to \infty }{\to }0$ pour $f\in {\mathcal{C}}^1([0,b])$.

Le résultat est aussi vrai si on remplace $\cos$ par $\sin$.

Étape 2 : ${\int }_0^{b}f(t)\cos \left(nt\right)dt\underset{n\to \infty }{\to }0$ pour $f\in {\mathcal{C}}^0([0,b])$.

Soit $f$ est une fonction continue. Les fonctions $f_p:x⟼p{\int }_x^{x+\frac{1}{p}}f(t)dt$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$.

De plus, on peut montrer que $(f_p{)}_p$ converge uniformément vers $f$. Soit $\epsilon >0$. Par le théorème de Heine, il existe un module $\eta$ d'uniforme continuité de $f$ sur $\left[-1,b+1\right]$. Soit $p=\lceil 1/\eta \rceil$. $\frac{1}{p}\le \eta$ et :

Ainsi ${\Vert f-f_p\Vert }_{\infty }\le \epsilon$ et la convergence est uniforme.

Maintenant, pour tout $n,p$ :

Pour $p$ assez grand, $b{\Vert f-f_p\Vert }_{\infty }\le \frac{\epsilon }{2}$. D'après l'étape 1, à partir d'un certain rang $n$, $\left|{\int }_0^b{f}_p(t)\cos \left(nt\right)dt\right|\le \frac{\epsilon }{2}$.

Donc à partir d'un certain rang $n$, $\left|{\int }_0^{b}f(t)\cos \left(nt\right)dt\right|\le \epsilon$. Ainsi :

Le résultat est aussi vrai si on remplace $\cos$ par $\sin$.

Étape 3 : ${\int }_0^{b}f(t)g(nt)dt\underset{n\to \infty }{\to }\frac{1}{b}({\int }_0^{b}f(t)dt)({\int }_0^{b}g(t)dt)$ pour $f\in {\mathcal{C}}^0([0,b])$ et $g$ polynôme trigonométrique.

Soit $g$ est un polynôme trigonométrique, i.e. $g(x)={\sum }_{k=0}^m{a}_k{e}^{ikx}$.

On a vu que ${\int }_0^{b}f(t)\cos \left(nt\right)dt\underset{n\to \infty }{\to }0$ si $g=\cos$ ou $g=\sin$, donc pour $g:x\mapsto e^{ix}$ par linéarité. Si $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, c'est également le cas pour $g:x\mapsto e^{imx}$ :

Ainsi :

Or, $\frac{1}{b}({\int }_0^{b}g(t)dt)=a_0$ (car la moyenne de $e^{ikx}$ est nulle sur une période pour $k\ge 1$). La limite de la suite est donc $\frac{1}{b}({\int }_0^{b}g(t)dt)({\int }_0^{b}f(t)dt)$.

Étape 4 : ${\int }_0^{b}f(t)g(nt)dt\underset{n\to \infty }{\to }\frac{1}{b}({\int }_0^{b}f(t)dt)({\int }_0^{b}g(t)dt)$ pour $f\in {\mathcal{C}}^0([0,b])$ et $g$ continue $b$-périodique.

D'après le théorème de Weierstrass trigonométrique (hors-programme), il existe une suite $(g_p)$ de polynômes trigonométrique qui converge uniformément vers $g$ sur $\left[0,b\right]$. Cette convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$ par $b$-périodicité de $g$.

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $g$ intégrable sur $[0,b]$, on note :

• $I_{g,n}={\int }_0^{b}f(t)g(nt)dt$,
• $l_g=\frac{1}{b}\left({\int }_0^{b}f(t)dt\right)\left({\int }_0^{b}g(t)dt\right)$.

Soit $\epsilon >0$. Pour tout $p,n$ entiers :

Or :

• $\left|I_{g,n}-I_{g_p,n}\right|\le b||f|{|}_{\infty }||g-g_p|{|}_{\infty }$,
• $\left|I_{g_p,n}-l_{g_p}\right|\underset{n\to \infty }{\to }0$ d'après l'étape 3,
• $\left|l_{g_p}-l_g\right|\le ||f|{|}_{\infty }||g-g_p|{|}_{\infty }$.

En fixant $p$ tel que $2b\Vert g-g_p\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$, à partir d'un certain rang $n$ :

Donc :

Question 2

En appliquant la question 1 à $f(x)=\sin (x)$ continue sur $[0,\pi ]$, $g(x)=\frac{1}{1+3{\cos }^2(t)}$ continue sur $\mathbb{R}$ $\pi$-périodique et $b=\pi$ :

Par $\pi$-périodicité :

On pose $u=\tan t$, et avec ${\cos }^2=\frac{1}{1+{\tan }^2}$ :