Exo Maths X MP #62 - Loi de Poisson

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May 11, 2021

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2016.

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre $λ$ . On pose $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ .

1. Calculer pour $s \in R$ , $E [exp (s S_{n})]$ .

2. Soit $ε > 0$ . Montrer qu'il existe $K, C > 0$ ne dépendant que de $ε$ et $λ$ , tels que :

P (S_{n} \geq n (λ + ε)) \leq K e^{- C n}

3. Soit $ε > 0$ . Montrer qu'il existe $\tilde{K}, \tilde{C} > 0$ ne dépendant que de $ε$ et $λ$ , tels que :

P (∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{S _{n}}{n} - λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \geq ε) \leq \tilde{K} e^{- \tilde{C} n}

Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Morad Laglil (MP*, Ibn Ghazi) et Hugo Carreaud (MP*, Joffre) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ$ . $X$ admet un moment d'ordre 1 et $E (X) = λ$ . Soit $s \in R$ . Comme la série de terme général $exp (s k) exp (- λ) \frac{λ ^{k}}{k !}$ est absolument convergente, $exp (s X)$ admet un moment d'ordre 1 et $E (exp (s X)) = \sum_{k = 0}^{\infty} exp (- λ) \frac{( e ^{s} λ ) ^{k}}{k !} = exp (λ (e^{s} - 1))$ .

Soit $X_{1}, . . ., X_{n}$ $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre $λ$ et $s \in R$ . Par le lemme des coalitions, $exp (s X_{1}), . . ., exp (s X_{n})$ sont mutuellement indépendantes et :

E (exp (s S_{n})) = E (exp (s X_{1}))^{n} = exp (n λ (e^{s} - 1))

Question 2

Soit $s > 0$ . Par stricte croissance de $x \mapsto exp (s x)$ :

P (S_{n} \geq n (λ + ε)) = P (exp (s S_{n}) \geq exp (s n (λ + ε)))

D'après l'inégalité de Markov :

P (exp (s S_{n}) \geq exp (s n (λ + ε))) \leq \frac{exp ( n λ ( e ^{s} - 1 ) )}{exp ( s n ( λ + ε ) )}

En posant $f (s) = λ (e^{s} - 1) - s (λ + ε)$ :

\forall s > 0, P (S_{n} \geq n (λ + ε)) \leq exp (n f (s))

Comme $f (0) = 0$ , $f$ dérivable sur $R^{+}$ et $f^{'} (0) = - ε < 0$ , on en déduit qu'il existe $s_{0} > 0$ tel que $f (s_{0}) < 0$ et $s_{0}$ ne dépend que de $λ$ et $ε$ . En posant $K = 1$ et $C = - f (s_{0})$ :

P (S_{n} \geq n (λ + ε)) \leq K exp (- C n)

Question 3

P (∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{S _{n}}{n} - λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \geq ε) = P (\frac{S _{n}}{n} - λ \geq ε) + P (\frac{S _{n}}{n} - λ \leq - ε) = P (S_{n} \geq n (λ + ε)) + P (S_{n} \leq n (λ - ε))

D'après la question 2, $P (S_{n} \geq n (λ + ε)) \leq K exp (- C n)$ . Majorons $P (S_{n} \leq n (λ - ε))$ :

P (S_{n} \leq n (λ - ε)) = P (- S_{n} \geq - n (λ - ε)) = P (exp (- s S_{n}) \geq exp (- s n (λ - ε)))

D'après l'inégalité de Markov :

P (exp (- s S_{n}) \geq exp (- s n (λ - ε))) \leq \frac{exp ( n λ ( e ^{- s} - 1 ) )}{exp ( - s n ( λ - ε ) )}

En posant $g (s) = λ (e^{- s} - 1) + s (λ - ε)$ :

\forall s > 0, P (S_{n} \leq n (λ - ε)) \leq exp (n g (s))

Comme $g (0) = 0$ , $g$ dérivable sur $R^{+}$ et $g^{'} (0) = - ε < 0$ , on en déduit qu'il existe $s_{0} > 0$ tel que $g (s_{0}) < 0$ et $s_{0}$ ne dépend que de $λ$ et $ε$ . En posant $K^{'} = 1$ et $C^{'} = - g (s_{0})$ :

P (S_{n} \leq n (λ - ε)) \leq K^{'} exp (- C^{'} n)

En posant $\tilde{K} = 2$ et $\tilde{C} = min (C, C^{'})$ :

P (∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{S _{n}}{n} - λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \geq ε) \leq \tilde{K} exp (- \tilde{C} n)

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