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L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de et et leur norme. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier.
Au sommaire de cette page :
Inégalité de Cauchy-Schwarz. Si est un espace préhilbertien réel, alors pour tout :
où désigne la norme induite par le produit scalaire.
Cas d'égalité. Si tels que , alors et sont liés, i.e. :
L'astuce est de considérer la fonction réelle suivante :
avec . Par définition, est positive. Si nous développons la norme :
Si , l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie quelque soit . Supposons maintenant pour pouvoir dire que est un polynôme de degré 2. Étant positif, son discriminant est négatif. Ainsi :
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc vraie.
Soit tels que .
Tout d'abord, remarquons que si , l'égalité est vérifiée quelque soit . Supposons maintenant pour pouvoir dire que est un polynôme de degré 2, de discriminant nul :
Donc, a une racine, i.e. :
Ainsi, si , alors et sont liés. Réciproquement, si et sont liés, on vérifie facilement que l'égalité tient.
Inégalité de Cauchy-Schwarz (somme). Si sont des nombres réels, alors :
Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à muni du produit scalaire canonique :
pour et .
Inégalité de Cauchy-Schwarz (intégrale). Si , alors :
Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à muni du produit scalaire :
pour .
Inégalité de Cauchy-Schwarz (espérance). Si est un espace probabilisé et , deux variables aléatoires ayant un moment d'ordre 2, alors :
est une forme bilinéaire, symmétrique, positive, mais n'est pas définie. Ce n'est donc pas un produit scalaire : nous ne pouvons pas appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz telle qu'énoncée plus haut dans le cadre d'un espace préhilbertien.
Toutefois, il s'avère que la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'utilise en fait jamais le côté défini du produit scalaire. L'inégalité est donc aussi vraie pour les formes bilinéaires, symmétriques, positives, et donc pour .
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