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Inégalité de Cauchy-Schwarz, démonstration et applications


Published
Revised
June 4, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Lucas Willems. Pour ajouter une démonstration à la source, contactez Lucas Willems <lcswillems@gmail.com>.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de  et  et leur norme. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier.

Au sommaire de cette page :

  1. Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité et démonstrations,
  2. Cas réel : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes,
  3. Cas fonctionnel : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales,
  4. Cas probabiliste : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espérances.

Cas préhilbertien

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Si  est un espace préhilbertien réel, alors pour tout  :



 désigne la norme induite par le produit scalaire.

Cas d'égalité. Si  tels que , alors  et  sont liés, i.e. :



Démonstration (inégalité)

L'astuce est de considérer la fonction réelle suivante :



avec . Par définition,  est positive. Si nous développons la norme :



Si , l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie quelque soit . Supposons maintenant  pour pouvoir dire que  est un polynôme de degré 2. Étant positif, son discriminant  est négatif. Ainsi :



L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc vraie.

Démonstration (cas d'égalité)

Soit  tels que .

Tout d'abord, remarquons que si , l'égalité est vérifiée quelque soit . Supposons maintenant  pour pouvoir dire que  est un polynôme de degré 2, de discriminant  nul :



Donc,  a une racine, i.e. :



Ainsi, si , alors  et  sont liés. Réciproquement, si  et  sont liés, on vérifie facilement que l'égalité tient.

Cas réel

Inégalité de Cauchy-Schwarz (somme). Si  sont des nombres réels, alors :



Démonstration

Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à  muni du produit scalaire canonique :



pour  et .

Cas fonctionnel

Inégalité de Cauchy-Schwarz (intégrale). Si , alors :



Démonstration

Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à  muni du produit scalaire :



pour .

Cas probabiliste

Inégalité de Cauchy-Schwarz (espérance). Si  est un espace probabilisé et ,  deux variables aléatoires ayant un moment d'ordre 2, alors :



Démonstration

 est une forme bilinéaire, symmétrique, positive, mais n'est pas définie. Ce n'est donc pas un produit scalaire : nous ne pouvons pas appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz telle qu'énoncée plus haut dans le cadre d'un espace préhilbertien.

Toutefois, il s'avère que la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'utilise en fait jamais le côté défini du produit scalaire. L'inégalité est donc aussi vraie pour les formes bilinéaires, symmétriques, positives, et donc pour .


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