Inégalité de Cauchy-Schwarz, démonstration et applications

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de $x$ et $y$ et leur norme. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier.

Au sommaire de cette page :

1. Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité et démonstrations,
2. Cas réel : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes,
3. Cas fonctionnel : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales,
4. Cas probabiliste : inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espérances.

Cas préhilbertien

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Si $(E,⟨.,.⟩)$ est un espace préhilbertien réel, alors pour tout $(x,y)\in E^2$ :

où $\Vert .\Vert$ désigne la norme induite par le produit scalaire.

Cas d'égalité. Si $(x,y)\in E^2$ tels que $|⟨x,y⟩|=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, alors $x$ et $y$ sont liés, i.e. :

Démonstration (inégalité)

L'astuce est de considérer la fonction réelle suivante :

avec $\lambda \in \mathbb{R}$. Par définition, $f$ est positive. Si nous développons la norme :

Si $y=0$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie quelque soit $x$. Supposons maintenant $y\ne 0$ pour pouvoir dire que $f$ est un polynôme de degré 2. Étant positif, son discriminant $\Delta$ est négatif. Ainsi :

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc vraie.

Démonstration (cas d'égalité)

Soit $(x,y)\in E^2$ tels que $|⟨x,y⟩|=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Tout d'abord, remarquons que si $y=0$, l'égalité est vérifiée quelque soit $x$. Supposons maintenant $y\ne 0$ pour pouvoir dire que $f$ est un polynôme de degré 2, de discriminant $\Delta$ nul :

Donc, $f$ a une racine, i.e. :

Ainsi, si $|⟨x,y⟩|=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, alors $x$ et $y$ sont liés. Réciproquement, si $x$ et $y$ sont liés, on vérifie facilement que l'égalité tient.

Cas réel

Inégalité de Cauchy-Schwarz (somme). Si $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n$ sont des nombres réels, alors :

Démonstration

Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique :

pour $x=(x_1,...,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ et $y=(y_1,...,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$.

Cas fonctionnel

Inégalité de Cauchy-Schwarz (intégrale). Si $f,g\in \mathcal{C}(I,\mathbb{R})$, alors :

Démonstration

Il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à $\mathcal{C}(I,\mathbb{R})$ muni du produit scalaire :

pour $f,g\in \mathcal{C}(I,\mathbb{R})$.

Cas probabiliste

Inégalité de Cauchy-Schwarz (espérance). Si $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ est un espace probabilisé et $X$, $Y$ deux variables aléatoires ayant un moment d'ordre 2, alors :

Démonstration

$\varphi :(X,Y)⟼E(X,Y)$ est une forme bilinéaire, symmétrique, positive, mais n'est pas définie. Ce n'est donc pas un produit scalaire : nous ne pouvons pas appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz telle qu'énoncée plus haut dans le cadre d'un espace préhilbertien.

Toutefois, il s'avère que la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'utilise en fait jamais le côté défini du produit scalaire. L'inégalité est donc aussi vraie pour les formes bilinéaires, symmétriques, positives, et donc pour $\varphi$.