Demo: suplementarité de Im(p) et Ker(p) pour un projecteur

Soit $E$ un $K-EV$ et $p$ un projecteur de $E$ dans $F$ un sev de $E$, mq $Ker(p)\oplus Im(p)=E$

Demo: Soit $x\in Ker(p)\cap Im(p)$,

On a $p(x)=0$ et $\exists u\in E$ tel que $p(u)=x$ $⟶$ $p(u)=p(x)=x=0$

Donc $x\in \{0\}$

Analyse:

Supposons: $\exists u,v\in Ker(p)\times Im(p)$ tq $x=u+v$

On a $p(x)=p(v)=v$

Synthese:

Posons $v=p(x)$ et $u=x-p(x)$ on a bien $v\in Im(p)$ et $u\in Ker(p)$