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Exo Maths X MP #15 - Périodicité d'une suite modulo


Published
Revised
October 27, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

On considère la suite suivante :



1. Montrer que .

2. Soit . Montrer que  est périodique.

3. Soit  la plus petite période. Montrer que .

4. Si , montrer que  est paire.

Merci à François Duhil de Benaze d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Montrons cette propriété par récurrence sur .

Initialisation.  donc . La propriété est vérifiée pour .

Hérédité. Supposons la propriété vérifiée au rang  et montrons là au rang . Par hypothèse de récurrence :



Ce qui conclut l'hérédité et la récurrence.

Question 2

 est de cardinal , donc par le principe des tiroirs, il existe  tels que .

Comme  et  pour , par récurrence double montante et récurrence double descendante, on en déduit que  pour tout , et donc que  est  périodique donc périodique.

Question 3

Supposons qu'il existe  tel que . Comme  pour , on en déduit par récurrence double descendante que  pour , et en particulier que  ce qui est absurde.

Par conséquent,  appartient à  de cardinal . Par le principe des tiroirs, il existe  tels que .  est donc  périodique avec . En particulier la plus petite période  vérifie .

Question 4

Si  est -périodique, alors pour  :



Par la question 1, on en déduit que  et donc que  ce qui impose  pair pour .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.