Exo Maths X MP #15 - Périodicité d'une suite modulo

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

On considère la suite suivante :

1. Montrer que $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },u_{n-1}{u}_{n+1}-u_n^2=(-1{)}^n$.

2. Soit $d\ge 2$. Montrer que $(u_n[d]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est périodique.

3. Soit $T$ la plus petite période. Montrer que $T\le d^2-1$.

4. Si $d>2$, montrer que $T$ est paire.

Merci à François Duhil de Benaze d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Montrons cette propriété par récurrence sur $n$.

Initialisation. $u_2=3$ donc $u_2{u}_0-u_1^2=-1$. La propriété est vérifiée pour $n=1$.

Hérédité. Supposons la propriété vérifiée au rang $n$ et montrons là au rang $n+1$. Par hypothèse de récurrence :

Ce qui conclut l'hérédité et la récurrence.

Question 2

$(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}{)}^2$ est de cardinal $d^2$, donc par le principe des tiroirs, il existe $0\le i<j\le d^2$ tels que $(u_i,u_{i+1})\equiv (u_j,u_{j+1})[d]$.

Comme $u_n\equiv 3u_{n-1}+u_{n-2}[d]$ et $u_{n-2}\equiv u_n-3u_{n-1}[d]$ pour $n\ge 2$, par récurrence double montante et récurrence double descendante, on en déduit que $u_{i+n}\equiv u_{j+n}[d]$ pour tout $n\ge -\min (i,j)$, et donc que $(u_n[d])$ est $j-i$ périodique donc périodique.

Question 3

Supposons qu'il existe $k$ tel que $u_k\equiv u_{k+1}\equiv 0[d]$. Comme $u_{n-2}\equiv u_n-3u_{n-1}[d]$ pour $n\ge 2$, on en déduit par récurrence double descendante que $u_i\equiv u_{i+1}\equiv 0[d]$ pour $i\ge 0$, et en particulier que $u_1\equiv 0[d]$ ce qui est absurde.

Par conséquent, $(u_i,u_{i+1})[d]$ appartient à $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}{)}^2\backslash \{(0,0)\}$ de cardinal $d^2-1$. Par le principe des tiroirs, il existe $0\le i<j\le d^2-1$ tels que $(u_i,u_{i+1})\equiv (u_j,u_{j+1})[d]$. $(u_n[d])$ est donc $j-i$ périodique avec $j-i\le d^2-1$. En particulier la plus petite période $T$ vérifie $T\le d^2-1$.

Question 4

Si $(u_n[d])$ est $T$-périodique, alors pour $n\ge 2$ :

Par la question 1, on en déduit que $(-1{)}^n\equiv (-1{)}^{n+T}[d]$ et donc que $(-1{)}^T\equiv 1[d]$ ce qui impose $T$ pair pour $d>2$.