Formule du binôme de Newton et démonstration

Démos Maths MPSI

Publié

Révisé

June 4, 2020

Il y a 3 années

Vous connaissez sûrement l'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , mais savez-vous ce que valent $(a + b)^{3}$ , $(a + b)^{5}$ ou $(a + b)^{10}$ ? Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale.

Formule du binôme de Newton. Si $(a, b) \in R^{2}$ et $n \in N$ , alors :

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k}

où $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k ) !}$ .

Cette formule est appelée formule du binôme de Newton et est utile pour calculer $(a + b)^{n}$ . Elle peut être généralisée sans soucis au cas où $a$ et $b$ sont deux éléments commutants (i.e. $a b = b a$ ) d'un anneau $(A, +, \times)$ (e.g. $A = C$ ).

Démonstration

Soit $(a, b) \in R^{2}$ . Pour démontrer la formule du binôme de Newton, nous allons procéder par récurrence sur $n$ .

L'hypothèse de récurrence $H_{n}$ au rang $n \in N$ est :

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k}

Initialisation

Pour $n = 0$ , $(a + b)^{0} = 1$ et $(0 0) a^{0} b^{0} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ donc $H_{0}$ est vraie.

Hérédité

Supposons $H_{n}$ vraie pour un $n \in N$ , et montrons que $H_{n + 1}$ est vraie.

Pour commencer :

(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n}

Par hypothèse de récurrence :

(a + b)^{n + 1} = (a + b) k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} = a k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} + b k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k} = k = 0 \sum n (k n) a^{k + 1} b^{n - k} + k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k + 1}

Faisons le changement de variable $i = k + 1$ dans la première somme, puis renommons $i$ en $k$ :

(a + b)^{n + 1} = k = 1 \sum n + 1 (k - 1 n) a^{k} b^{n - k + 1} + k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k + 1}

Isolons le terme $k = n + 1$ de la première somme et le terme $k = 0$ de la seconde, puis réunissons les deux sommes pour $k \in [[1, n]]$ :

(a + b)^{n + 1} = (n n) a^{n + 1} b^{0} + k = 1 \sum n ((k - 1 n) + (k n)) a^{k} b^{n - k + 1} + (0 n) a^{0} b^{n + 1}

Comme $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ , $(n n) = (n + 1 n + 1)$ et $(0 n) = (0 n + 1)$ :

(a + b)^{n + 1} = (n + 1 n + 1) a^{n + 1} b^{0} + k = 1 \sum n (k n + 1) a^{k} b^{n - k + 1} + (0 n + 1) a^{0} b^{n + 1}

En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :

(a + b)^{n + 1} = k = 0 \sum n + 1 (k n + 1) a^{k} b^{n + 1 - k}

Autrement dit, $H_{n + 1}$ est vraie.

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