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Formule du binôme de Newton et démonstration


Published
Revised
June 4, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Lucas Willems. Pour ajouter une démonstration à la source, contactez Lucas Willems <lcswillems@gmail.com>.

Vous connaissez sûrement l'identité remarquable , mais savez-vous ce que valent ,  ou  ? Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale.

Formule du binôme de Newton. Si  et , alors :



.

Cette formule est appelée formule du binôme de Newton et est utile pour calculer . Elle peut être généralisée sans soucis au cas où  et  sont deux éléments commutants (i.e. ) d'un anneau  (e.g. ).

Démonstration

Soit . Pour démontrer la formule du binôme de Newton, nous allons procéder par récurrence sur .

L'hypothèse de récurrence  au rang  est :



Initialisation

Pour ,  et  donc  est vraie.

Hérédité

Supposons  vraie pour un , et montrons que  est vraie.

Pour commencer :



Par hypothèse de récurrence :



Faisons le changement de variable  dans la première somme, puis renommons  en  :



Isolons le terme  de la première somme et le terme  de la seconde, puis réunissons les deux sommes pour  :



Comme ,  et  :



En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :



Autrement dit,  est vraie.


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