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Vous connaissez sûrement l'identité remarquable , mais savez-vous ce que valent , ou ? Vous pouvez développer le produit, mais vous allez avoir beaucoup de mal. Heureusement, la formule du binôme de Newton permet d'obtenir facilement l'expression finale.
Formule du binôme de Newton. Si et , alors :
où .
Cette formule est appelée formule du binôme de Newton et est utile pour calculer . Elle peut être généralisée sans soucis au cas où et sont deux éléments commutants (i.e. ) d'un anneau (e.g. ).
Soit . Pour démontrer la formule du binôme de Newton, nous allons procéder par récurrence sur .
L'hypothèse de récurrence au rang est :
Pour , et donc est vraie.
Supposons vraie pour un , et montrons que est vraie.
Pour commencer :
Par hypothèse de récurrence :
Faisons le changement de variable dans la première somme, puis renommons en :
Isolons le terme de la première somme et le terme de la seconde, puis réunissons les deux sommes pour :
Comme , et :
En regroupant les termes sous une même somme, nous pouvons conclure :
Autrement dit, est vraie.
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