Petit théorème de Fermat et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 4, 2020

4 years ago

Le petit théorème de Fermat, énoncé en 1640, par Pierre de Fermat, dispose de nombreuses applications, à la fois en arithmétique modulaire et en cryptographie.

Le petit théorème de Fermat. Si $p$ est un nombre premier et $a \in N$ , alors :

a^{p} \equiv a [p]

Démonstration

Soit $p$ un nombre premier. Pour démontrer le petit théorème de Fermat, nous allons procéder par récurrence sur $a$ .

L'hypothèse de récurrence $H_{a}$ au rang $a \in N$ est :

a^{p} \equiv a [p]

Initialisation

Pour $a = 0$ , $0^{p} = 0$ donc $0^{p} \equiv 0 [p]$ et $H_{0}$ est vraie.

Hérédité

Supposons $H_{a}$ vraie pour un $a \in N$ , et montrons que $H_{a + 1}$ est vraie.

Partons de $(a + 1)^{p}$ et développons :

(a + 1)^{p} = a^{p} + k = 1 \sum p - 1 (k p) a^{k} + 1

Remarquons que pour $k \in [[1, p - 1]]$ , $p$ divise $(k p)$ puisque :

$p$ divise $k! (k p) = p (p - 1) . . . (p - k + 1)$ ,
$p$ est premier avec $k!$ .

Grâce à cette remarque :

(a + 1)^{p} \equiv a^{p} + 1 [p]

Par hypothèse de récurrence :

(a + 1)^{p} \equiv a + 1 [p]

Finalement, $H_{a + 1}$ est vraie.

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