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Petit théorème de Fermat et démonstration


Published
Revised
June 4, 2020
1 month ago

Le petit théorème de Fermat, énoncé en 1640, par Pierre de Fermat, dispose de nombreuses applications, à la fois en arithmétique modulaire et en cryptographie.

Le petit théorème de Fermat. Si  est un nombre premier et , alors :



Démonstration

Soit  un nombre premier. Pour démontrer le petit théorème de Fermat, nous allons procéder par récurrence sur .

L'hypothèse de récurrence  au rang  est :



Initialisation

Pour ,  donc  et  est vraie.

Hérédité

Supposons  vraie pour un , et montrons que  est vraie.

Partons de  et développons :



Remarquons que pour ,  divise  puisque :

  •  divise ,
  •  est premier avec .

Grâce à cette remarque :



Par hypothèse de récurrence :



Finalement,  est vraie.


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