Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Continuité de la fonction réciproque


Published
Revised
October 6, 2020
2 years ago

Soit  et  deux intervalles de .

Théorème. Soit  une fonction réelle, bijective de  sur  et continue sur . Alors :

  •  est strictement monotone sur ,
  • sa bijection réciproque  est continue sur .

Démonstration :  strictement monotone

Raisonnons par l'absurde. Supposons que  ne soit pas strictement monotone. Cela veut dire qu'il existe 4 réels , , ,  de  tels que :

  •  et ,
  •  et .

L'idée est que si nous transformons continuement  en  et  en , alors nous allons tomber sur 2 réels  et  de  tels que  et , ce qui est impossible puisque  est bijective donc injective.

Plus concrètement, considérons la fonction  suivante définie sur  :



 est continue,  et . Par le théorème des valeurs intermédiaires, , c'est-à-dire :



Or, . Il est donc absurde qu'un tel  existe puisque  est bijective donc injective.

Démonstration :  continue

Montrons que  est continue sur . Soit . Soit .

Considérons . C'est un intervalle de  contenant .

Considérons .  étant continue et strictement monotone,  est un invervalle de  contenant . Donc .

Par construction, , donc :



Cela nous montre donc que  est continue sur .


Démos Maths MPSI

Découvre ou révise les démonstrations de maths au programme de MPSI.