Continuité de la fonction réciproque

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.

Théorème. Soit $f$ une fonction réelle, bijective de $I$ sur $J$ et continue sur $I$. Alors :

• $f$ est strictement monotone sur $I$,
• sa bijection réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$.

Démonstration : $f$ strictement monotone

Raisonnons par l'absurde. Supposons que $f$ ne soit pas strictement monotone. Cela veut dire qu'il existe 4 réels $a$, $b$, $c$, $d$ de $I$ tels que :

• $a<b$ et $f(a)<f(b)$,
• $c<d$ et $f(c)>f(d)$.

L'idée est que si nous transformons continuement $a$ en $b$ et $c$ en $d$, alors nous allons tomber sur 2 réels $x$ et $y$ de $I$ tels que $x<y$ et $f(x)=f(y)$, ce qui est impossible puisque $f$ est bijective donc injective.

Plus concrètement, considérons la fonction $g$ suivante définie sur $[0,1]$ :

$g$ est continue, $g(0)=f(d)-f(c)<0$ et $g(1)=f(b)-f(a)>0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\exists t\in [0,1],g(t)=0$, c'est-à-dire :

Or, $tb+(1-t)d<ta+(1-t)c$. Il est donc absurde qu'un tel $t$ existe puisque $f$ est bijective donc injective.

Démonstration : $f^{-1}$ continue

Montrons que $f^{-1}$ est continue sur $J$. Soit $a\in J$. Soit $\epsilon >0$.

Considérons $I_{\epsilon }=[f^{-1}(a)-\epsilon ,f^{-1}(a)+\epsilon ]\cap I$. C'est un intervalle de $I$ contenant $f^{-1}(a)$.

Considérons $J_{\epsilon }=f(I_{\epsilon })$. $f$ étant continue et strictement monotone, $J_{\epsilon }$ est un invervalle de $J$ contenant $a$. Donc $\exists \delta >0,([a-\delta ,a+\delta ]\cap J)\subset J_{\epsilon }$.

Par construction, $f^{-1}(J_{\epsilon })=I_{\epsilon }$, donc :

Cela nous montre donc que $f^{-1}$ est continue sur $J$.