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Continuité de la fonction réciproque


Published
Revised
October 6, 2020
2 weeks ago

Soit  et  deux intervalles de .

Théorème. Soit  une fonction réelle, bijective de  sur  et continue sur . Alors :

  •  est strictement monotone sur ,
  • sa bijection réciproque  est continue sur .

Démonstration :  strictement monotone

Raisonnons par l'absurde. Supposons que  ne soit pas strictement monotone. Cela veut dire qu'il existe 4 réels , , ,  de  tels que :

  •  et ,
  •  et .

L'idée est que si nous transformons continuement  en  et  en , alors nous allons tomber sur 2 réels  et  de  tels que  et , ce qui est impossible puisque  est bijective donc injective.

Plus concrètement, considérons la fonction  suivante définie sur  :



 est continue,  et . Par le théorème des valeurs intermédiaires, , c'est-à-dire :



Or, . Il est donc absurde qu'un tel  existe puisque  est bijective donc injective.

Démonstration :  continue

Montrons que  est continue sur . Soit . Soit .

Considérons . C'est un intervalle de  contenant .

Considérons .  étant continue et strictement monotone,  est un invervalle de  contenant . Donc .

Par construction, , donc :



Cela nous montre donc que  est continue sur .


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