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Exo Maths X MP #13 - Groupe orthogonal et trace


Published
Revised
October 25, 2020
4 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit . Soit . On pose.

1. Montrer que .

2. Montrer que  est continue.

3. Montrer que .

4. Montrer que .

Merci à Abdaloidoud Zouliami d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

L'application  est continue sur  car linéaire sur un espace de dimension finie.

 est compact car :

  •  est l'image réciproque du fermé  par l'application  continue (car polynôme en les coefficients de ). Donc  est un fermé.
  • Toute colonne  de  vérifie , i.e. . Donc , i.e. . Donc  est une partie bornée de .

Donc  est bornée sur . Autrement dit, .

Question 2

Soit  et  :



En utilisant le fait que , remarquons que :



Donc :



En passant au sup à droite, puis au centre, puis à gauche :



Donc  donc  est 1-lipschitzienne donc continue.

Question 3

Comme  est continue sur  et  est compact (c.f. question 1), alors  est bornée sur  et atteint ses bornes. Autrement dit, .

Question 4

On définit l'application .

Cette application est dérivable car  et  le sont. Ainsi :



Si , alors  est constante égale à , donc  pour tout . En prenant , on obtient .

Réciproquement, si , alors  pour tout . Donc  est constante sur , égale à . Donc .

On a montré l'équivalence demandée.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.