Exo Maths X MP #13 - Groupe orthogonal et trace

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Révisé

October 25, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $O (n) = {g \in G L_{n} (R) ∣ g^{T} g = I_{n}}$ . Soit $A \in M_{n} (R)$ . On pose $φ (A) = sup_{g \in O (n)} Tr (A g)$ .

1. Montrer que $φ (A) < + \infty$ .

2. Montrer que $φ$ est continue.

3. Montrer que $\exists g_{0} \in O (n), φ (A) = Tr (A g_{0})$ .

4. Montrer que $\forall s \in R, e^{s A} \in O (n) ⟺ A^{T} + A = 0$ .

Merci à Abdaloidoud Zouliami d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

L'application $f : M ⟼ T r (A M)$ est continue sur $M_{n} (R)$ car linéaire sur un espace de dimension finie.

$O (n)$ est compact car :

$O (n)$ est l'image réciproque du fermé ${I_{n}}$ par l'application $M ⟼ M^{T} M$ continue (car polynôme en les coefficients de $M$ ). Donc $O (n)$ est un fermé.
Toute colonne $C_{j} = (g_{1 j}, . . . g_{n j})^{T}$ de $g \in O (n)$ vérifie $C_{j}^{T} C_{j} = 1$ , i.e. $\sum_{i = 1}^{n} (g_{i j})^{2} = 1$ . Donc $\forall i, j, ∣ g_{i j} ∣ \leq 1$ , i.e. $∣ ∣ g ∣ ∣_{\infty} \leq 1$ . Donc $O (n)$ est une partie bornée de $M_{n} (R)$ .

Donc $f$ est bornée sur $O (n)$ . Autrement dit, $φ (A) < + \infty$ .

Question 2

Soit $A, M \in M_{n} (R)$ et $g \in O (n)$ :

Tr ((A + M) g) = Tr (A g) + Tr (M g)

En utilisant le fait que $∣ g_{i j} ∣ \leq 1$ , remarquons que :

∣ Tr (M g) ∣ = ∣ i \sum j \sum M_{i j} g_{j i} ∣ \leq i, j \sum ∣ M_{i j} g_{j i} ∣ \leq i, j \sum ∣ M_{i, j} ∣ = ∣ ∣ M ∣ ∣_{1}

Donc :

Tr (A g) - ∣ ∣ M ∣ ∣_{1} \leq Tr ((A + M) g) \leq Tr (A g) + ∣ ∣ M ∣ ∣_{1}

En passant au sup à droite, puis au centre, puis à gauche :

φ (A) - ∣ ∣ M ∣ ∣_{1} \leq φ (A + M) \leq φ (A) + ∣ ∣ M ∣ ∣_{1}

Donc $∣ φ (A + M) - φ (A) ∣ \leq ∣ ∣ M ∣ ∣_{1}$ donc $φ$ est 1-lipschitzienne donc continue.

Question 3

Comme $f : M ⟼ T r (A M)$ est continue sur $M_{n} (R)$ et $O (n)$ est compact (c.f. question 1), alors $f$ est bornée sur $O (n)$ et atteint ses bornes. Autrement dit, $\exists g_{0} \in O (n), φ (A) = Tr (A g_{0})$ .

Question 4

On définit l'application $Φ : s \in R \mapsto (e^{s A})^{T} e^{s A}$ .

Cette application est dérivable car $s \mapsto (e^{s A})^{T}$ et $s \mapsto e^{s A}$ le sont. Ainsi :

\frac{d Φ}{d s} = (A e^{s A})^{T} e^{s A} + (e^{s A})^{T} A e^{s A} = e^{s A^{T}} (A^{T} + A) e^{s A}

Si $\forall s \in R, e^{s A} \in O (n)$ , alors $Φ$ est constante égale à $I_{n}$ , donc $\frac{d Φ}{d s} = 0$ pour tout $s \in R$ . En prenant $s = 0$ , on obtient $A^{T} + A = 0$ .

Réciproquement, si $A + A^{T} = 0$ , alors $\frac{d Φ}{d s} = 0$ pour tout $s \in R$ . Donc $Φ$ est constante sur $R$ , égale à $Φ (0) = I_{n}$ . Donc $\forall s \in R, e^{s A} \in O (n)$ .

On a montré l'équivalence demandée.

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