Le mystère du parapluie perdu



Bonjour à tous ! Bienvenue dans le deuxième épisode de la série "Les exos de Maths+1".

Dans cet article, il va être question du mystère du parapluie perdu. C'est un épisode de niveau bac+1.

Le mystère du parapluie perdu

Il pleuvait beaucoup ce matin là. Un commercial, qui devait rendre visite à ses clients, prend donc son parapluie. Il doit visiter des clients dans 3 immeubles différents, reliés par un passage couvert. Chaque immeuble a le même nombre d'étages n et un seul appartement par étage.

Notre commercial commence sa visite par le premier étage du premier immeuble, puis visite tous les étages du premier immeuble, puis tous les étages du 2e immeuble, et enfin tous les étages du 3e immeuble.

À l'issue de sa visite, notre commercial s'aperçoit d'une chose horrible : il a oublié son parapluie dans l'un des appartements des 3 immeubles... Où se trouve son parapluie ?

Pour le retrouver, notre commercial recommence sa visite. Il se rend au 1er étage du 1er immeuble, puis au 2e étage, puis au 3e... Arrivé au dernier étage du 1er immeuble, le client est déjà parti. Porte close.

Est-ce que le parapluie est derrière cette porte ? Ou bien est-ce que le parapluie se trouve derrière l'une des portes des autres immeubles ? Autrement dit, qu'elle est la probabilité que le parapluie se trouve au dernier étage, sachant qu'il ne se trouve pas dans les étages précédents du 1er immeuble ?

Si vous pensez que la probabilité est 1/3, je vous invite à continuer votre lecture.

Méthode 1

Pour commencer, introduisons 2 notations :

Comme il est autant probable que le parapluie ait été oublié dans le 1er immeuble que dans le 2e ou le 3e, la probabilité qu'il soit oublié dans le i-ième immeuble est 1/3 :

Comme il est autant probable que le parapluie ait été oublié au 1er étage du 1er immeuble qu'au 2e étage, qu'au 3e, ..., qu'au n-ième, la probabilité qu'il soit oublié au j-ième étage du premier immeuble est 1/n :

Notre problème est donc de calculer la probabilité que le parapluie se trouve au dernier étage du 1er immeuble, sachant qu'il ne se trouve pas dans les précédents étages du 1er immeuble, c'est-à-dire :

Nous allons utiliser la formule des probabilités conditionnelles :

En utilisant cette formule, la probabilité que nous cherchons devient un quotient :

Calcons le numérateur puis son dénominateur.

Calcul du numérateur

Commençons par calculer le numérateur de ce quotient. Comme le parapluie ne peut pas être à plusieurs étages à la fois, dire qu'il est au n-ième étage et qu'il n'est pas aux étages précédents est redondant. On peut juste dire qu'il est au n-ième étage, c'est-à-dire :

De plus, si le parapluie est au dernier étage du 1er immeuble, c'est qu'il est au dernier étage du 1er immeuble et qu'il est dans le 1er immeuble :

Donc, après utilisation des probabilités conditionnelles :

Or, nous avons déjà calculé les probabilités de ces 2 termes :

Nous venons donc d'obtenir la probabilité du numérateur :

Calcul du dénominateur

Calculons maintenant le dénominateur, soit la probabilité que le parapluie ne se trouve pas dans les n-1 premiers étages du 1er immeuble, soit la probabilité que le parapluie se trouve dans le dernier étage du 1er immeuble ou dans les autres immeubles, soit :

Comme il n'est pas possible que le parapluie soit à la fois au dernier étage du 1er immeuble et dans les autres immeubles, on a :

Or, là encore, nous connaissons la valeur de ces 2 termes :

Calcul du quotient

Le quotient est alors :

Après simplification, nous obtenons que la probabilité que le parapluie se trouve au dernier étage du 1er immeuble sachant qu'il ne se trouve pas dans les étages précédents est :

Voilà la solution qui était exposée dans le livre dans lequel j'ai trouvé cet exercice. Nous allons voir qu'il y a une méthode beaucoup plus simple pour trouver le résultat.

Méthode 2

L'énoncé nous dit que le commercial visite 3 immeubles différents. Mais cette distinction n'est pas importante. Nous pouvons regrouper tous les étages des 3 immeubles dans un seul grand immeuble à 3n étages.

La question est alors : quelle est la probabilité que le parapluie se trouve à l'étage n d'un immeuble comportant 3n étage sachant qu'il ne se trouve pas dans les n-1 premiers.

Autrement dit, sachant que le parapluie est entre les étages n et 3n, quelle est la propabilité pour qu'il se trouve à l'étage n ?

Comme le parapluie peut se trouver dans chacun des 2n+1 étages et que la probabilité qu'il se trouve dans chaque est égale, nous retombons sur la même probabilité qu'avec la méthode 1 :



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Merci, et à bientôt pour un nouvel épisode !



Texte écrit par Lucas Willems