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Exo Maths X MP #33 - Trace nulle


Published
Revised
December 21, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  nilpotentes, de combinaisons linéaires nilpotentes.

1. Pourquoi  ? Donner plusieurs arguments.

2. Montrer que  pour tout .

Merci à Romain Farthoat d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Abdelmalek Rhayoute (MP*, Moulay Driss) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Argument 1.  est trigonalisable, i.e. il existe  telle que  soit triangulaire supérieure. Or,  donc les coefficients diagonaux de  sont nuls, donc .

Argument 2. Soit  et  un vecteur propre associé à . D'une part, . D'autre part,  par nilpotence de . Donc . Ainsi, . Or, . Donc .

Question 2 (version binôme de Newton)

Soit . Pour tout ,  est nilpotente, donc  est aussi nilpotente. Posons  pour tout .

Comme , on obtient aussi pour tout  :



 sont des coefficients que nous n'expliciterons pas.

Or, d'après la question 1,  pour tout . Le polynôme  a donc une infinité de racines : il est nul et ses coefficients aussi. En particulier :



Question 2 (version dérivation)

On pose  qui est polynomiale donc dérivable et :



Donc :



puisque .

En remarquant que :

  •  est linéaire donc continue,
  •  puisque (1)  et  sont nilpotentes, donc  et  aussi, et que (2) la trace d'une matrice nilpotente est nulle d'après la question 1,

on obtient que :



Ainsi, , et donc .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.