Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit nilpotentes, de combinaisons linéaires nilpotentes.
1. Pourquoi ? Donner plusieurs arguments.
2. Montrer que pour tout .
Merci à Romain Farthoat d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Abdelmalek Rhayoute (MP*, Moulay Driss) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
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Argument 1. est trigonalisable, i.e. il existe telle que soit triangulaire supérieure. Or, donc les coefficients diagonaux de sont nuls, donc .
Argument 2. Soit et un vecteur propre associé à . D'une part, . D'autre part, par nilpotence de . Donc . Ainsi, . Or, . Donc .
Soit . Pour tout , est nilpotente, donc est aussi nilpotente. Posons pour tout .
Comme , on obtient aussi pour tout :
où sont des coefficients que nous n'expliciterons pas.
Or, d'après la question 1, pour tout . Le polynôme a donc une infinité de racines : il est nul et ses coefficients aussi. En particulier :
On pose qui est polynomiale donc dérivable et :
Donc :
puisque .
En remarquant que :
on obtient que :
Ainsi, , et donc .
Exos Maths X MP
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