Exo Maths X MP #33 - Trace nulle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ nilpotentes, de combinaisons linéaires nilpotentes.

1. Pourquoi $\text{Tr}(B)=0$ ? Donner plusieurs arguments.

2. Montrer que $\text{Tr}(A^{k}B)=0$ pour tout $k>0$.

Merci à Romain Farthoat d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Abdelmalek Rhayoute (MP*, Moulay Driss) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

Argument 1. $B$ est trigonalisable, i.e. il existe $P\in G{L}_n(\mathbb{C})$ telle que $PB{P}^{-1}$ soit triangulaire supérieure. Or, $B^n=O$ donc les coefficients diagonaux de $PB{P}^{-1}$ sont nuls, donc $\text{Tr}(B)=\text{Tr}(PB{P}^{-1})=0$.

Argument 2. Soit $\lambda \in \text{Sp}(B)$ et $X$ un vecteur propre associé à $\lambda$. D'une part, $B^{n}X={\lambda }^{n}X$. D'autre part, $B^{n}X=0$ par nilpotence de $B$. Donc $\lambda =0$. Ainsi, ${\chi }_B=X^n$. Or, ${\chi }_B=X^n-\text{Tr}(B)X^{n-1}+...$. Donc $\text{Tr}(B)=0$.

Question 2 (version binôme de Newton)

Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour tout $t\in \mathbb{R}$, $A+tB$ est nilpotente, donc $(A+tB{)}^{k+1}$ est aussi nilpotente. Posons $P(t)=\text{Tr}((A+tB{)}^{k+1})$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.

Comme $\text{Tr}(A^{x}B{A}^y)=\text{Tr}(A^{x+y}B)$, on obtient aussi pour tout $t\in \mathbb{R}$ :

où $a_0,a_2,...,a_{k+1}$ sont des coefficients que nous n'expliciterons pas.

Or, d'après la question 1, $P(t)=0$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. Le polynôme $P$ a donc une infinité de racines : il est nul et ses coefficients aussi. En particulier :

Question 2 (version dérivation)

On pose $f:\begin{array}{ccc}\mathbb{R}& ⟶& M_n(\mathbb{R})\\ t& ⟼& A+tB\end{array}$ qui est polynomiale donc dérivable et :

Donc :

puisque $\text{Tr}(MN)=\text{Tr}(NM)$.

En remarquant que :

• $\text{Tr}$ est linéaire donc continue,
• $\text{Tr}((A+tB{)}^{k+1})=\text{Tr}(A^{k+1})=0$ puisque (1) $A+tB$ et $A$ sont nilpotentes, donc $(A+tB{)}^{k+1}$ et $A^{k+1}$ aussi, et que (2) la trace d'une matrice nilpotente est nulle d'après la question 1,

on obtient que :

Ainsi, $k\text{Tr}(A^{k}B)=0$, et donc $\text{Tr}(A^{k}B)=0$.