Exo Maths X MP #24 - Espérance d'une variable aléatoire

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November 18, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $N \geq 2$ . $(X_{i})_{i \in N}$ variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur ${0, \frac{1}{N}, . . ., \frac{N - 1}{N}}$ . On note $Y_{k} = \sum_{i = 1}^{k} X_{i}$ et $M$ le premier indice $m$ tel que $Y_{m} \geq 1$ .

1. Montrer que $M$ est presque sûrement fini.

2. Calculer l'espérance de $M$ .

Merci à Pietro Cren d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

On remarque que :

P (M = + \infty) = P (n \in N ⋂ (M > n)) = n \to + \infty lim P (M > n)

Soit $n \in N^{*}$ :

P (M > n) = P (j = 1 ⋂ n (Y_{j} < 1))

Or, $⋂_{j = 1}^{n} (Y_{j} < 1) = (Y_{n} < 1)$ puisque, pour tout $w \in Ω$ , $(Y_{n} (w))_{n}$ est une suite croissante. Ainsi :

P (M > n) = P (Y_{n} < 1)

Comme les variables aléatoires $X_{i}$ sont indépendantes :

P (Y_{n} < 1) = \frac{1}{N ^{n}} Card {(x_{1}, . . ., x_{n}) \in [[0, N - 1]]^{n} ∣ i = 1 \sum n x_{i} \leq N - 1}

Si on introduit $x_{n + 1} = N - 1 - \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ , on remarque que :

P (Y_{n} < 1) = \frac{1}{N ^{n}} Card {(x_{1}, . . ., x_{n + 1}) \in [[0, N - 1]]^{n + 1} ∣ i = 1 \sum n + 1 x_{i} = N - 1}

$Card {(x_{1}, . . ., x_{n + 1}) \in [[0, N - 1]]^{n + 1} ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i} = N - 1}$ peut être vu comme :

le nombre de façons de répartir $N - 1$ objets dans $n + 1$ boites à capacité infinie,
qui peut être vu comme le nombre de nombres ayant exactement $N - 1$ uns (les objets) et $n$ zéros (les $n$ séparateurs des $n + 1$ boites),
qui peut être vu comme le nombre d'emplacements possibles pour les $n$ zéros parmis les $n + N - 1$ zéros et uns, et ce nombre est $(n n + N - 1)$ .

Ainsi :

P (Y_{n} < 1) = \frac{1}{N ^{n}} (n n + N - 1) ⩽ \frac{( n + N - 1 ) ^{N - 1}}{N ^{n} ( N - 1 ) !} n \to + \infty 0

Donc $P (M = + \infty) = 0$ , c'est-à-dire $M$ est presque sûrement fini.

Question 2

$M$ est à valeurs entières. Dans le cas où elle est intégrable, on a :

E [M] = n \geq 0 \sum n P (M = n) = n \geq 0 \sum P (M > n) = 1 + n \geq 1 \sum P (M > n)

Pour tout $n \in N^{*}$ , on a :

P (M > n) = P (Y_{n} < 1) = \frac{1}{N ^{n}} (n n + N - 1) \leq \frac{( n + N - 1 ) ^{N}}{N ! N ^{n}}

Si on note $u_{n} = \frac{( n + N - 1 ) ^{N}}{N ! N ^{n}}$ , on remarque que :

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (\frac{n + 1 + N - 1}{n + N - 1})^{N} \frac{1}{N} n \to \infty \frac{1}{N} < 1

D'après la règle de d'Alembert, la série de terme général $u_{n}$ converge et donc la série de terme général $P (M > n)$ converge.

On en déduit que $M$ admet une espérance et que :

E [M] = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{N ^{n}} (n n + N - 1)

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