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Tout entier a un diviseur premier


Published
Revised
September 7, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Manuel, un prof particulier de maths passionné et expérimenté, qui pourra vous aider à faire face à la MPSI.

Nombre premier. Un nombre premier  est un nombre entier naturel, supérieur ou égal à 2, seulement divisible par 1 et par lui-même.

Proposition. Tout nombre entier  admet un diviseur premier.

Démonstration 1 (récurrence forte)

On cherche à démontrer, pour tout  , la propriété : " admet un diviseur premier".

Initialisation.

2 est un nombre premier, donc admet bien un diviseur premier : lui même.

Hérédité.

Soit un entier  tel que, pour tout ,  est vraie. Montrons ; c'est à dire que  admet un diviseur premier.

Si  est un nombre premier, alors il admet un diviseur premier : lui même.

Si  n'est pas premier, alors il admet un diviseur strict . Par hypothèse de récurrence,  admet un diviseur premier . Mais comme  divise  et  divise ,  divise aussi , en plus d'être premier.

 admet donc bien un diviseur premier.

Conclusion.

La propriété  est vraie au rang  et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel . On a bien montré que tout entier plus grand que  admet un diviseur premier.

Démonstration 2 (ensembliste)

Soit .

Cas où  est premier. Il admet donc bien un diviseur premier: lui-même.

Cas où  n'est pas premier. S'il n'est pas premier, alors l'ensemble  des diviseurs de  différents de 1 et  est non vide.  étant un sous-ensemble non vide de , il admet donc un plus petit élément . Montrons que  est premier.

Supposons qu'il existe un diviseur  de  différent de  et de .  est alors un diviseur de  différent de  et de , donc  et . Mais c'est impossible par construction de , donc  n'a que  et  pour diviseurs.

Comme  est supérieur à 2 par construction,  est donc premier. De plus,  divise .

Ainsi, tout entier a un diviseur premier.


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