Exo Maths X MP #12 - Condition de diagonalisabilité

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $\left(E_1,\dots ,E_n\right)$ la base canonique de ${\mathbb{C}}^n$. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{C}$ tels que $\forall i\in [[1,n]]$, $A{E}_i={\lambda }_i{E}_i+E_{i-1}$  (en posant $E_0=0$).

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les ${\lambda }_i$ pour que $A$ soit diagonalisable et donner les sous-espaces propres.

Merci à Merlin Fruchon d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Condition nécessaire et suffisante

Par récurrence sur $0\le k\le n-1$ :

où le dernier coefficient non nul de la première ligne vaut $1$ et est situé à la $(k+1)$-ième colonne.

Ainsi, la famille $(A^k{)}_{0\le k\le n-1}$ est échelonnée selon là $(k+1)$-ième diagonale supérieure. Elle est donc libre. On en déduit que le polynôme minimal ${\pi }_A$ de $A$ est de degré au moins $n$.

Ainsi, "$A$ diagonalisable" équivaut à "${\pi }_A$ scindé à racines simples" équivaut à "${\pi }_A$ a $n$ racines simples distinctes" équivaut à "les $({\lambda }_i{)}_i$ sont deux à deux distincts".

Espaces propres

Soit $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in {\mathbb{C}}^n$ vecteur propre non-nul de $A$ pour${\lambda }_k$.

Si $k=n$, alors ${\lambda }_n{x}_n={\lambda }_k{x}_n$ quelque soit $x_n$. Si $k<n$, alors ${\prod }_{i=1}^{n-1}({\lambda }_k-{\lambda }_i)=0$, donc $x_n=0$, donc ${\lambda }_n{x}_n={\lambda }_k{x}_n$. Ainsi :