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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit bornée et telle que l'espace vectoriel engendré par soit de dimension finie. Que dire sur ?
Merci à William Lenglet d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Soit bornée et telle que soit de dimension finie notée .
Étape 1 : Les fonctions de sont bornées.
Il existe telles que . Les sont des combinaisons linéaires de translatés de qui sont tous bornés, donc les sont bornés et donc toutes les fonctions de sont bornées.
Étape 2 : Les valeurs propres de sont de module .
Introduisons l'endomorphisme :
Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé à . On a :
Donc :
étant un vecteur propre, il existe tel que . étant bornée, on en déduit que .
est inversible, d'inverse . Donc et . On a donc que , et par un raisonnement similaire, on en déduit que . Ainsi .
Étape 3 : est diagonalisable.
D'après l'étape 2, il existe deux à deux différents et tels que :
et , .
Montrons que nécessairement . Soit et i.e. :
Soit . Pour tout :
La suite est récurrente linéaire d'ordre , de polynôme caractéristique , donc il existe tels que :
étant bornée, . Donc . Le résultat étant vrai pour tout , en prenant :
ce qui équivaut à dire que . Nous venons donc de montrer que et donc que nécessairement .
Étape 4 : Conclusion.
Comme , il existe et tels que :
Pour tout , posons . Les sont -périodique puisque :
Donc pour tout :
avec des fonctions 1-périodiques.
Notons , , et :
Comme est une fonction réelle, . On déduit après développement que :
Donc il existe des fonctions à valeurs réelles et 1-périodiques telles que :
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.