Exo Maths X MP #21 - Espace des translatés d'une fonction

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ bornée et telle que l'espace vectoriel engendré par $\{x\mapsto f(x+k)|k\in \mathbb{Z}\}$ soit de dimension finie. Que dire sur $f$ ?

Merci à William Lenglet d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ bornée et telle que $E={\text{Vect}}_{\mathbb{C}}\left\{x\mapsto f(x+k)\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ soit de dimension finie notée $n$.

Étape 1 : Les fonctions de $E$ sont bornées.

Il existe $g_1,...,g_n\in E$ telles que $E={\text{Vect}}_{\mathbb{C}}\left\{g_1,...,g_n\right\}$. Les $g_k$ sont des combinaisons linéaires de translatés de $f$ qui sont tous bornés, donc les $g_k$ sont bornés et donc toutes les fonctions de $E$ sont bornées.

Étape 2 : Les valeurs propres de $T$ sont de module $1$.

Introduisons l'endomorphisme $T$ :

Soit $\lambda$ une valeur propre de $T$ et $g$ un vecteur propre associé à $\lambda$. On a :

Donc :

$g$ étant un vecteur propre, il existe $x\in \mathbb{R}$ tel que $g(x)\ne 0$. $g$ étant bornée, on en déduit que $|\lambda |\le 1$.

$T$ est inversible, d'inverse $T^{-1}:g⟼(x\mapsto g(x-1))$. Donc $\lambda \ne 0$ et $T^{-1}(g)={\lambda }^{-1}g$. On a donc que $\forall k\in \mathbb{N},T^{-k}(g)={\lambda }^{-k}g$, et par un raisonnement similaire, on en déduit que $|{\lambda }^{-1}|\le 1$. Ainsi $|\lambda |=1$.

Étape 3 : $T$ est diagonalisable.

D'après l'étape 2, il existe ${\omega }_1,...,{\omega }_r\in [0,2\pi [$ deux à deux différents et $m_1,...,m_r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que :

et $\forall k\in [[1,r]]$, $\text{Ker}{\left(e^{i{\omega }_k}\text{Id}-T\right)}^{m_k-1}\ne \text{Ker}{\left(e^{i{\omega }_k}\text{Id}-T\right)}^{m_k}$.

Montrons que nécessairement $m_1=...=m_r=1$. Soit $k\in [[1,r]]$ et $g\in \text{Ker}(e^{i{w}_k}\text{Id}-T{)}^2$ i.e. :

Soit $x\in \mathbb{R}$. Pour tout $p\in \mathbb{N}$ :

La suite $(g(x+p){)}_{p\in \mathbb{N}}$ est récurrente linéaire d'ordre $2$, de polynôme caractéristique $(X-e^{i{w}_k}{)}^2$, donc il existe $A_0(x),A_1(x)\in \mathbb{C}$ tels que :

$g$ étant bornée, $A_1(x)=0$. Donc $\forall p\in \mathbb{N},g(x+p)=A_0(x)e^{ip{\omega }_k}=g(x)e^{ip{\omega }_k}$. Le résultat étant vrai pour tout $x\in \mathbb{R}$, en prenant $p=1$ :

ce qui équivaut à dire que $g\in \text{Ker}(e^{i{w}_k}\text{Id}-T)$. Nous venons donc de montrer que$\text{Ker}(e^{i{w}_k}\text{Id}-T{)}^2=\text{Ker}(e^{i{w}_k}\text{Id}-T)$ et donc que nécessairement $m_k=1$.

Étape 4 : Conclusion.

Comme $f\in E$, il existe ${\eta }_1,...,{\eta }_r\in \mathbb{C}$ et $(g_1,...,g_r)\in {\prod }_{k=1}^r\text{Ker}\left(e^{i{\omega }_k}\text{Id}-T_1\right)$ tels que :

Pour tout $k\in [[1,r]]$, posons $\forall x\in \mathbb{R},h_k(x)=e^{-i{\omega }_{k}x}{g}_k(x)$. Les $h_k$ sont $1$-périodique puisque :

Donc pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

avec $h_1,...,h_r$ des fonctions 1-périodiques.

Notons ${\phi }_k=\text{Re}(h_k)$, ${\psi }_k=\text{Im}(h_k)$, ${\alpha }_k=\text{Re}({\eta }_k)$ et ${\beta }_k=\text{Re}({\eta }_k)$ :

Comme $f$ est une fonction réelle, $f=\text{Re}(f)$. On déduit après développement que :

Donc il existe ${\Phi }_k,{\Psi }_k$ des fonctions à valeurs réelles et 1-périodiques telles que :