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Exo Maths X MP #21 - Espace des translatés d'une fonction


Published
Revised
November 9, 2020
8 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  bornée et telle que l'espace vectoriel engendré par  soit de dimension finie. Que dire sur  ?

Merci à William Lenglet d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  bornée et telle que  soit de dimension finie notée .

Étape 1 : Les fonctions de  sont bornées.

Il existe  telles que . Les  sont des combinaisons linéaires de translatés de  qui sont tous bornés, donc les  sont bornés et donc toutes les fonctions de  sont bornées.

Étape 2 : Les valeurs propres de  sont de module .

Introduisons l'endomorphisme  :



Soit  une valeur propre de  et  un vecteur propre associé à . On a :



Donc :



 étant un vecteur propre, il existe  tel que .  étant bornée, on en déduit que .

 est inversible, d'inverse . Donc  et . On a donc que , et par un raisonnement similaire, on en déduit que . Ainsi .

Étape 3 :  est diagonalisable.

D'après l'étape 2, il existe  deux à deux différents et  tels que :



et , .

Montrons que nécessairement . Soit  et  i.e. :



Soit . Pour tout  :



La suite  est récurrente linéaire d'ordre , de polynôme caractéristique , donc il existe  tels que :



 étant bornée, . Donc . Le résultat étant vrai pour tout , en prenant  :



ce qui équivaut à dire que . Nous venons donc de montrer que et donc que nécessairement .

Étape 4 : Conclusion.

Comme , il existe  et  tels que :



Pour tout , posons . Les  sont -périodique puisque :



Donc pour tout  :



avec  des fonctions 1-périodiques.

Notons , ,  et  :



Comme  est une fonction réelle, . On déduit après développement que :



Donc il existe  des fonctions à valeurs réelles et 1-périodiques telles que :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.