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Exo Maths X MP #29 - Cardinal des sous-groupes de symétries


Published
Revised
December 8, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Décrire le groupe des isométries vectorielles qui conservent le pentagone regulier.

2. Montrer que le cardinal des sous-groupes de symétries de  est majoré par un nombre ne dépendant que de .

Merci à Ulysse Hennebelle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Analyse. Soit  une isométrie vectorielle du plan complexe conservant le pentagone régulier.

Si  est positive, c'est une rotation d'angle  : pour tout , . En particulier,  est un sommet du pentagone, i.e. il existe  tel que , i.e. . En posant , on obtient que pour tout , .

Sinon,  est négative, c'est une symétrie orthogonale par rapport à une droite.  envoie le sommet  sur l’un des 5 sommets et la droite de symétrie est la médiatrice entre ces deux sommets.

Synthèse. Les rotations d'angles  pour  et les symétries par rapport aux 5 médiatrices sont des isométries convervant le pentagone régulier.

Question 2

Soit  un sous-groupe de symétries de .

Pour tout , , i.e. . Donc  est abélien. En effet,  étant un groupe, si , , et .

De plus, tout élément de  est annulé par le polynôme  scindé à racines simples, donc est diagonalisable, de valeurs propres contenues dans .

 est donc une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux. Montrons que ces endormorphismes sont co-diagonalisables, i.e. qu'il existe  tel que pour tout ,  diagonale.

 est un espace vectoriel de dimension finie. Il existe donc une base , et montrer que  sont co-diagonalisables suffit à montrer que les endorphismes de  sont co-diagonalisables.

Montrons donc par récurrence sur  que  sont co-diagonalisables :

Initialisation. Si , il n'y a rien à prouver.

Hérédité. Soit  tel que  soient co-diagonalisables.  est diagonalisable, donc son polynôme minimal est scindé à racine simple, donc d'après le lemme des noyaux, .

Soit . Pour tout ,  et  commutent donc  est stable par . On peut donc considérer les induits des  sur . Par hypothèse de récurrence, les induits de  sont co-diagonalisables sur , i.e. il existe une base  qui les diagonalise.  diagonalise aussi . Ainsi, la base  de  obtenue en concaténant les  diagonalise .

Conclusion. Il existe  tel que pour tout ,  est diagonale à coefficients dans . Il y a donc au plus  possibilités pour , donc pour . Le cardinal de  est majoré par .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.