Exo Maths X MP #29 - Cardinal des sous-groupes de symétries

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Décrire le groupe des isométries vectorielles qui conservent le pentagone regulier.

2. Montrer que le cardinal des sous-groupes de symétries de $G{L}_n(\mathbb{C})$ est majoré par un nombre ne dépendant que de $n$.

Merci à Ulysse Hennebelle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Analyse. Soit $f$ une isométrie vectorielle du plan complexe conservant le pentagone régulier.

Si $f$ est positive, c'est une rotation d'angle $\theta$ : pour tout $z\in \mathbb{C}$, $f(z)=e^{i\theta }z$. En particulier, $f(e^{i\frac{\pi }{5}})=e^{i(\theta +\frac{\pi }{5})}$ est un sommet du pentagone, i.e. il existe $k\in [[1,5]]$ tel que $f(e^{i\frac{\pi }{5}})=e^{i\frac{k\pi }{5}}$, i.e. $e^{i\theta }=e^{i\frac{(k-1)\pi }{5}}$. En posant $l=k-1\in [[0,4]]$, on obtient que pour tout $z\in \mathbb{C}$, $f(z)=e^{i\frac{l\pi }{5}}z$.

Sinon, $f$ est négative, c'est une symétrie orthogonale par rapport à une droite. $f$ envoie le sommet $1$ sur l’un des 5 sommets et la droite de symétrie est la médiatrice entre ces deux sommets.

Synthèse. Les rotations d'angles $l\frac{\pi }{5}$ pour $0\le l\le 4$ et les symétries par rapport aux 5 médiatrices sont des isométries convervant le pentagone régulier.

Question 2

Soit $G$ un sous-groupe de symétries de ${\text{GL}}_n(\mathbb{C})$.

Pour tout $M\in G$, $M^2=I_n$, i.e. $M=M^{-1}$. Donc $G$ est abélien. En effet, $G$ étant un groupe, si $A,B\in G$, $AB\in G$, et $AB=(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}=BA$.

De plus, tout élément de $G$ est annulé par le polynôme $X^2-1$ scindé à racines simples, donc est diagonalisable, de valeurs propres contenues dans $\left\{\begin{array}{c}-1,1\end{array}\right\}$.

$G$ est donc une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux. Montrons que ces endormorphismes sont co-diagonalisables, i.e. qu'il existe $P\in {\text{GL}}_n(\mathbb{C})$ tel que pour tout $M\in G$, $P^{-1}MP$ diagonale.

$\text{Vect}(G)$ est un espace vectoriel de dimension finie. Il existe donc une base $(A_1,...,A_p)$, et montrer que $A_1,...,A_p$ sont co-diagonalisables suffit à montrer que les endorphismes de $G$ sont co-diagonalisables.

Montrons donc par récurrence sur $k\in [[1,p]]$ que $A_1,...,A_k$ sont co-diagonalisables :

Initialisation. Si $k=1$, il n'y a rien à prouver.

Hérédité. Soit $k\in [[2,p]]$ tel que $A_1,...,A_{k-1}$ soient co-diagonalisables. $A_k$ est diagonalisable, donc son polynôme minimal est scindé à racine simple, donc d'après le lemme des noyaux, ${\mathbb{C}}^n={⨁}_{\lambda \in \text{Sp}(A_k)}\text{Ker}(A_k-\lambda I)$.

Soit $\lambda \in \text{Sp}(A_k)$. Pour tout $i\in [[1,k[[$, $A_i$ et $A_k$ commutent donc $\text{Ker}(A_k-\lambda I)$ est stable par $A_i$. On peut donc considérer les induits des $A_i$ sur $\text{Ker}(A_k-\lambda I)$. Par hypothèse de récurrence, les induits de $A_1,...,A_{k-1}$ sont co-diagonalisables sur $\text{Ker}(A_k-\lambda I)$, i.e. il existe une base ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ qui les diagonalise. ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ diagonalise aussi $A_k$. Ainsi, la base $\mathcal{B}$ de ${\mathbb{C}}^n$ obtenue en concaténant les ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ diagonalise $A_1,...,A_k$.

Conclusion. Il existe $P\in {\text{GL}}_n(\mathbb{C})$ tel que pour tout $M\in G$, $P^{-1}MP$ est diagonale à coefficients dans $\left\{\begin{array}{c}-1,1\end{array}\right\}$. Il y a donc au plus $2^n$ possibilités pour $P^{-1}MP$, donc pour $M$. Le cardinal de $G$ est majoré par $2^n$.