Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #16 - Propriétés des matrices de déterminant 1


Published
Revised
October 28, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un anneau. On note  l'ensemble des matrices de taille  de déterminant  à coefficients dans .

1. Montrer que  n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

2. Montrer que  est dense dans .

3. Montrer que  et  engendrent .

Merci à Pietro Cren d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Supposons que  est engendré par un nombre fini d'éléments . Soit  la famille des coefficients rationnels de ces matrices. Soit  l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un des .

Si  est engendré par les , alors ses coefficients peuvent tous se mettre sous la forme  avec . Soit  un nombre premier supérieur à .  ne peut s'écrire sous la forme  avec .

On en conclut que la matrice  de  ne peut pas être engendrée par , ce qui est absurde. Donc  n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

Question 2

Soit .

 est dense dans , donc  est dense dans , donc  est dense dans , donc il existe  tendant vers .

Par continuité du déterminant, . Donc à partir d'un certain rang , . Pour , posons :



 et  puisque  et . Donc toute matrice  est limite d'une suite de matrices de . Ainsi  est dense dans .

Question 3

Montrons que  est engendrée par  et  par récurrence forte sur .

Cas . Par définition, . Donc  i.e.  ou . Donc  ou .

Or, on peut remarquer que  pour tout  (récurrence ascendante et descendante) et que . Donc  ou . Dans les deux cas,  est engendrée par  et .

Cas . En faisant une division eucliedienne, on obtient  avec  et , et :



Par hypothèse de récurrence,  est alors engendrée par  et  donc  est engendrée par  et .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.