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Exo Maths X MP #16 - Propriétés des matrices de déterminant 1


Published
Revised
October 28, 2020
11 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un anneau. On note  l'ensemble des matrices de taille  de déterminant  à coefficients dans .

1. Montrer que  n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

2. Montrer que  est dense dans .

3. Montrer que  et  engendrent .

Merci à Pietro Cren d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Supposons que  est engendré par un nombre fini d'éléments . Soit  la famille des coefficients rationnels de ces matrices. Soit  l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un des .

Si  est engendré par les , alors ses coefficients peuvent tous se mettre sous la forme  avec . Soit  un nombre premier supérieur à .  ne peut s'écrire sous la forme  avec .

On en conclut que la matrice  de  ne peut pas être engendrée par , ce qui est absurde. Donc  n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

Question 2

Soit .

 est dense dans , donc  est dense dans , donc  est dense dans , donc il existe  tendant vers .

Par continuité du déterminant, . Donc à partir d'un certain rang , . Pour , posons :



 et  puisque  et . Donc toute matrice  est limite d'une suite de matrices de . Ainsi  est dense dans .

Question 3

Montrons que  est engendrée par  et  par récurrence forte sur .

Cas . Par définition, . Donc  i.e.  ou . Donc  ou .

Or, on peut remarquer que  pour tout  (récurrence ascendante et descendante) et que . Donc  ou . Dans les deux cas,  est engendrée par  et .

Cas . En faisant une division eucliedienne, on obtient  avec  et , et :



Par hypothèse de récurrence,  est alors engendrée par  et  donc  est engendrée par  et .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.