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Exo Maths X MP #52 - Que dire de cette suite ?


Published
Revised
February 4, 2021
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  une suite réelle bornée telle que . Que dire de  ?

Merci au polytechnicien qui a souhaité resté anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Sacha Cerf (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

La suite  est bornée donc admet au moins une valeur d'adhérence. Si  est l'une d'entre elles, elle doit vérifier , c'est à dire  ou . Ainsi, l'ensemble des valeurs d'adhérence de  est non vide et inclus dans .

Soit .

Si  est fini,  est inférieure à  à partir d'un certain rang, donc aucune sous suite de  ne peut converger vers .  n'a donc qu'une seule valeur d'adhérence qui est . Montrons que  converge vers .

Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors  et une extractrice  telle que . Or,  étant aussi bornée, elle admet une valeur d'adhérence  qui, par construction, ne peut pas être égale à .  aurait donc deux valeurs d'adhérence ce qui est absurde.  converge vers .

Si  est fini, par un raisonnement analogue à celui du cas précédent, on trouve que  converge vers .

Si  et  sont infinis, on peut partitionner  en deux sous suites  et .  vérifie les conditions du premier cas donc converge vers ,  vérifie les conditions du second cas donc converge vers .

Finalement, soit  converge vers , soit  converge vers , soit peut être partitionnée en deux sous suites, l'une convergeant vers , l'autre vers . Et ces conditions sont suffisantes.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.