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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit une suite réelle bornée telle que . Que dire de ?
Merci au polytechnicien qui a souhaité resté anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Sacha Cerf (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
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La suite est bornée donc admet au moins une valeur d'adhérence. Si est l'une d'entre elles, elle doit vérifier , c'est à dire ou . Ainsi, l'ensemble des valeurs d'adhérence de est non vide et inclus dans .
Soit .
Si est fini, est inférieure à à partir d'un certain rang, donc aucune sous suite de ne peut converger vers . n'a donc qu'une seule valeur d'adhérence qui est . Montrons que converge vers .
Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors et une extractrice telle que . Or, étant aussi bornée, elle admet une valeur d'adhérence qui, par construction, ne peut pas être égale à . aurait donc deux valeurs d'adhérence ce qui est absurde. converge vers .
Si est fini, par un raisonnement analogue à celui du cas précédent, on trouve que converge vers .
Si et sont infinis, on peut partitionner en deux sous suites et . vérifie les conditions du premier cas donc converge vers , vérifie les conditions du second cas donc converge vers .
Finalement, soit converge vers , soit converge vers , soit peut être partitionnée en deux sous suites, l'une convergeant vers , l'autre vers . Et ces conditions sont suffisantes.
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.