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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
1. Soit bornée avec . Que dire de ?
2. Soit bornée avec . Que dire de ?
Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Remarque préliminaire. Soit bornée. Si elle admet une unique valeur d'adhérence, alors elle converge.
Preuve (par contraposée). Soit une valeur d'adhérence de qui existe par Bolzano-Weierstrass. Supposons non convergente vers , c'est-à-dire qu'il existe et une extractrice telle que pour tout . étant bornée, elle admet alors une valeur d'adhérence vérifiant . a donc au moins deux valeurs d'adhérence.
Soit une suite réelle bornée avec . On montre que .
étant bornée, par Bolzano-Weierstrass il existe extractrice et telle que . Donc et . Donc est valeur d'adhérence.
Par récurrence, on crée une suite de valeur d'adhérence vérifiant pour tout . est donc une suite arithmetico-géométrique de terme général : .
Si , alors diverge, impliquant que a un ensemble de valeur d'adhérence non bornée et donc est non bornée : absurde. Donc la seule valeur d'adhérence de est .
étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, .
Soit une suite réelle bornée avec . On montre que .
Soit extractrice telle que . Alors :
Le terme de gauche tend vers quand tend vers et le terme de droite vers Par unicité de la limite, donc . D'où est la seule valeur d'adhérence de .
étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.