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Exo Maths X MP #10 - Que dire sur ces suites ?


Published
Revised
October 21, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit  bornée avec . Que dire de  ?

2. Soit  bornée avec . Que dire de  ?

Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préliminaire. Soit  bornée. Si elle admet une unique valeur d'adhérence, alors elle converge.

Preuve (par contraposée). Soit  une valeur d'adhérence de  qui existe par Bolzano-Weierstrass. Supposons  non convergente vers , c'est-à-dire qu'il existe  et une extractrice  telle que  pour tout .  étant bornée, elle admet alors une valeur d'adhérence  vérifiant .  a donc au moins deux valeurs d'adhérence.

Question 1

Soit  une suite réelle bornée avec . On montre que .

 étant bornée, par Bolzano-Weierstrass il existe  extractrice et  telle que . Donc  et . Donc  est valeur d'adhérence.

Par récurrence, on crée une suite de valeur d'adhérence vérifiant  pour tout .  est donc une suite arithmetico-géométrique de terme général : .

Si , alors  diverge, impliquant que  a un ensemble de valeur d'adhérence non bornée et donc est non bornée : absurde. Donc la seule valeur d'adhérence de  est .

 étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, .

Question 2

Soit  une suite réelle bornée avec . On montre que .

Soit  extractrice telle que . Alors :



Le terme de gauche tend vers  quand  tend vers  et le terme de droite vers  Par unicité de la limite,  donc . D'où  est la seule valeur d'adhérence de .

 étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.