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Exo Maths X MP #19 - Une fonction et sa transformée


Published
Revised
November 2, 2020
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un intervalle de  et . Pour tout  tel que , on pose :



1. On suppose que  est un polynôme scindé de degré . Montrer que  est strictement négative.

2. On suppose que  négative et que  ne s'annule pas sur . Montrer que .

Merci à Merlin Fruchon d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Notons  où les  sont des réels distincts ordonnés et les  des entiers strictements positifs.

 est scindé sur  car :

  • Pour ,  est racine d'ordre  de . Ce polynôme admet donc au moins racines réelles comptées avec multiplicité, toutes dans .
  • Par le théorème de Rolle, on peut également trouver  racines de  qui ne sont pas dans cet ensemble (chacune comprise dans ).
  •  admet donc  racines réelles, il est donc scindé.

On peut donc écire :  où les  sont des réels. Ainsi :



Soit  tel que . Alors :



car les termes dans les sommes sont strictement positifs.

Question 2

On suppose par l'absurde qu'il existe  tel que . Alors, par continuité,  atteint son minimum en un point .

Par hypothèse,  ne s'annule pas en  et est continue, donc  garde un signe constant strict au voisinage de , donc  admet un extremum local en , donc . Ainsi :



Par la formule de Taylor-Young en  :



Si  au voisinage de , alors  admet un maximum local en , donc , et donc .

Sinon si  au voisinage de , alors  admet un minimum local en , donc , et donc de même .

On en déduit donc que , ce qui est absurde par hypothèse. Donc pour tout , .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.