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Exo Maths X MP #25 - Solutions 1-périodiques d'une équation différentielle


Published
Revised
November 24, 2020
4 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  une fonction continue et 1-périodique telle que  et . Existe-t-il des solutions 1-périodiques à l'équation  ?

Merci à Guillaume Chilla d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Commençons par remarquer que la fonction nulle est solution de l'équation différentielle. Soit  une solution 1-périodique.

Étape 1 :  a un point d'annulation sur .

Supposons que  ne s'annule pas sur . On peut alors écire que .

D'une part :



et  par hypothèse. Donc .

D'autre part :



et  par 1-périodicité de . Donc . On aboutit à une absurdité.  a nécessairement un point d'annulation sur .

Étape 2 :  est la fonction nulle.

Soit  tel que . Par 1-périodicité, .

Soit  tels que ,  et . Montrons qu'il existe  tel que .

Supposons que  ne s'annule pas sur .  atteint son maximum en un  et . Par le théorème de Rolle,  tels que ,  et .



On considère , dérivable sur  et . . Le maximum de  est atteint en  et vaut . Ainsi :



On aboutit à une absurdité. Donc  s'annule sur . Nous pouvons donc construire par récurrence une suite  de points d'annulation de  telle que  et  pour tout . Cette suite est décroissante, minorée par .

Par le théorème de Rolle, pour tout , il existe  tel que . Par continuité de , on en déduit que .

On a donc . D'après le théorème de Cauchy-Linéaire, .

Conclusion. L'unique solution 1-périodique de l'équation est la solution nulle.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.