Exo Maths X MP #25 - Solutions 1-périodiques d'une équation différentielle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $f$ une fonction continue et 1-périodique telle que ${\int }_0^{1}f(t)dt>0$ et ${\int }_0^1|f(t)|dt<4$. Existe-t-il des solutions 1-périodiques à l'équation $y^{\prime \prime }(t)+f(t)y(t)=0$ ?

Merci à Guillaume Chilla d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Commençons par remarquer que la fonction nulle est solution de l'équation différentielle. Soit $\phi$ une solution 1-périodique.

Étape 1 : $\phi$ a un point d'annulation sur $\mathbb{R}$.

Supposons que $\phi$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. On peut alors écire que $\forall t\in \mathbb{R},\frac{y^{\prime \prime }(t)}{y(t)}=-f(t)$.

D'une part :

et ${\int }_0^{1}f(t)dt>0$ par hypothèse. Donc ${\int }_0^1\frac{{\phi }^{\prime \prime }(t)}{\phi (t)}dt<0$.

D'autre part :

et ${\left[\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\phi (t)}\right]}_0^1=0$ par 1-périodicité de $\phi$. Donc ${\int }_0^1\frac{{\phi }^{\prime \prime }(t)}{\phi (t)}dt\ge 0$. On aboutit à une absurdité. $\phi$ a nécessairement un point d'annulation sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 : $\phi$ est la fonction nulle.

Soit $x_0\in \mathbb{R}$ tel que $\phi (x_0)=0$. Par 1-périodicité, $\phi (x_0+1)=0$.

Soit $a,b\in \mathbb{R}$ tels que $\phi (a)=\phi (b)=0$, $a<b$ et $|a-b|\le 1$. Montrons qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $\phi (c)=0$.

Supposons que $\phi$ ne s'annule pas sur $]a,b[$. $|\phi |$ atteint son maximum en un $c\in ]a,b[$ et $|\phi (c)|>0$. Par le théorème de Rolle, $\exists \mu ,\lambda \in ]a,b[$ tels que $a<\mu <c<\lambda <b$, ${\phi }^{\prime }(\mu )=\frac{\phi (c)}{c-a}$ et ${\phi }^{\prime }(\lambda )=\frac{-\phi (c)}{b-c}$.

On considère $\gamma :c⟼(b-c)(c-a)$, dérivable sur $]a,b[$ et ${\gamma }^{\prime }(c)=a+b-2c$. ${\gamma }^{\prime }(c)\ge 0⟺c\le \frac{a+b}{2}$. Le maximum de $\gamma$ est atteint en $\frac{a+b}{2}$ et vaut $\frac{(b-a{)}^2}{4}$. Ainsi :

On aboutit à une absurdité. Donc $\phi$ s'annule sur $]a,b[$. Nous pouvons donc construire par récurrence une suite $(c_n{)}_n$ de points d'annulation de $\phi$ telle que $c_0=x_0+1$ et $c_{n+1}\in ]x_0,c_n[$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Cette suite est décroissante, minorée par $x_0$.

Par le théorème de Rolle, pour tout $n\in \mathbb{N}$, il existe $d_n\in ]x_0,c_n[$ tel que ${\phi }^{\prime }(d_n)=0$. Par continuité de ${\phi }^{\prime }$, on en déduit que ${\phi }^{\prime }(x_0)={\lim }_{n\to \infty }{\phi }^{\prime }(d_n)=0$.

On a donc $\phi (x_0)={\phi }^{\prime }(x_0)=0$. D'après le théorème de Cauchy-Linéaire, $\phi =0$.

Conclusion. L'unique solution 1-périodique de l'équation est la solution nulle.