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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit l'ensemble des nombres complexes de module 1. Soit un groupe infini de . Soit le sous-groupe de engendré par .
1. Montrer que n'est pas réduit à .
2. Montrer que .
3. Montrer que .
4. Si n'est plus infini, à quelle condition le résultat reste valable ?
Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
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étant infini, il existe une suite injective d'éléments de .
est compact puisqu'il est une partie bornée et fermée (image réciproque du fermé par qui est continue) d'un -espace vectoriel de dimension finie. Comme , admet une valeur d'adhérence.
Soit extractrice telle que . Pour tout , et . Il existe donc tel que . De plus, par injectivté de , , donc . Donc n'est pas réduit à .
Soit . ll existe tel que .
D'après la preuve de la question 1, il existe une suite d'éléments de qui converge vers . Quitte à enlever les premiers termes de , on peut supposer que est une suite d'éléments de qui converge vers .
La suite définie par converge donc vers . Comme , on peut supposer .
On définit . Par définition, , donc . Comme , .
Par continuité de , . Il existe donc tel que . Donc .
Soit . D'après la question 2, il existe et tels que . Donc . Donc . Comme , . D'où donc .
Supposons fini. Si , , donc , donc .
Supposons . Pour tout , notons son argument dans .
Posons . est une partie finie non vide de , donc admet un minimum. Soit tel que .
Soit . Il existe et tel que . Or, . Par minimalité de , , donc , d'où .
Il existe et tel que . . Par minimalité de , , donc , donc , d'où .
On remarque que :
Donc :
Si , et .
Si , donc .
Le résultat subsiste donc si et seulement si ou .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.