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Exo Maths X MP #55 - Groupes infinis de complexes unitaires


Published
Revised
February 16, 2021
2 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  l'ensemble des nombres complexes de module 1. Soit  un groupe infini de . Soit  le sous-groupe de  engendré par .

1. Montrer que  n'est pas réduit à .

2. Montrer que .

3. Montrer que .

4. Si  n'est plus infini, à quelle condition le résultat reste valable ?

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

 étant infini, il existe une suite injective  d'éléments de .

 est compact puisqu'il est une partie bornée et fermée (image réciproque du fermé  par  qui est continue) d'un -espace vectoriel de dimension finie. Comme ,  admet une valeur d'adhérence.

Soit  extractrice telle que . Pour tout ,  et . Il existe donc  tel que . De plus, par injectivté de , , donc . Donc  n'est pas réduit à .

Question 2

Soit . ll existe  tel que .

D'après la preuve de la question 1, il existe une suite  d'éléments de  qui converge vers . Quitte à enlever les premiers termes de , on peut supposer que  est une suite d'éléments de  qui converge vers .

La suite  définie par  converge donc vers . Comme , on peut supposer .

On définit . Par définition, , donc . Comme , .

Par continuité de , . Il existe donc  tel que . Donc .

Question 3

Soit . D'après la question 2, il existe  et  tels que . Donc . Donc . Comme , . D'où  donc .

Question 4

Supposons  fini. Si , , donc , donc .

Supposons . Pour tout , notons  son argument dans .

Posons .  est une partie finie non vide de , donc admet un minimum. Soit  tel que .

Soit . Il existe  et  tel que . Or, . Par minimalité de , , donc , d'où .

Il existe  et  tel que . . Par minimalité de , , donc , donc , d'où .

On remarque que :



Donc :



Si ,  et .

Si ,  donc .

Le résultat subsiste donc si et seulement si  ou .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.