Exo Maths X MP #55 - Groupes infinis de complexes unitaires

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1. Soit $(G,\times )$ un groupe infini de $\mathbb{U}$. Soit $H$ le sous-groupe de $G$ engendré par $\mathcal{A}=\{g\in G\mid |g-1|<\frac{1}{\sqrt{2}}\}$.

1. Montrer que $\mathcal{A}$ n'est pas réduit à $1$.

2. Montrer que $\forall z\in \mathbb{U},\exists g\in \mathcal{A},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast },|z-g^n|<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

3. Montrer que $H=G$.

4. Si $G$ n'est plus infini, à quelle condition le résultat reste valable ?

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Amine Eagle (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

$G$ étant infini, il existe une suite injective $(g_n)$ d'éléments de $G$.

$\mathbb{U}$ est compact puisqu'il est une partie bornée et fermée (image réciproque du fermé $\{1\}$ par $|.|$ qui est continue) d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. Comme $G\subset \mathbb{U}$, $(g_n)$ admet une valeur d'adhérence.

Soit $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ extractrice telle que $g_n^{\prime }=g_{\phi (n)}\underset{n\to +\infty }{\to }g\in \mathbb{U}$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $g_n^{\prime \prime }=g_{n+1}^{\prime }{g^{\prime }}_n^{-1}\in G$ et $g_n^{\prime \prime }\underset{n\to \infty }{\to }1$. Il existe donc $N\in \mathbb{N}$ tel que $g_N^{\prime \prime }\in \mathcal{A}$. De plus, par injectivté de $(g_n)$, $g_N^{\prime }\ne g_{N+1}^{\prime }$, donc $g_N^{\prime \prime }\ne 1$. Donc $\mathcal{A}$ n'est pas réduit à $1$.

Question 2

Soit $z\in \mathbb{U}$. ll existe $\theta \in [0,2\pi [$ tel que $z=e^{i\theta }$.

D'après la preuve de la question 1, il existe une suite $(g_n^{\prime \prime })$ d'éléments de $G\backslash \{1\}$ qui converge vers $1$. Quitte à enlever les premiers termes de $(g_n^{\prime \prime })$, on peut supposer que $(g_n^{\prime \prime })$ est une suite d'éléments de $\mathcal{A}\backslash \{1\}$ qui converge vers $1$.

La suite $({\alpha }_n)$ définie par ${\alpha }_n=\arg g_n^{\prime \prime }\in ]-\pi ,\pi ]$ converge donc vers $0$. Comme $g\in \mathcal{A}\iff g^{-1}\in \mathcal{A}$, on peut supposer ${\alpha }_n\in ]0,\pi ]$.

On définit $\forall n\in \mathbb{N},p_n=\lfloor \frac{\theta }{{\alpha }_n}\rfloor$. Par définition, $\frac{\theta }{{\alpha }_n}-1<p_n\le \frac{\theta }{{\alpha }_n}$, donc $\theta -{\alpha }_n<p_n{\alpha }_n\le \theta$. Comme ${\alpha }_n\underset{n\to +\infty }{\to }0$, $p_n{\alpha }_n\underset{n\to +\infty }{\to }\theta$.

Par continuité de $x\mapsto e^{ix}$, $(g_n^{\prime \prime }{)}^{p_n}=e^{i{p}_n{\alpha }_n}\underset{n\to +\infty }{\to }{e}^{i\theta }=z$. Il existe donc $N\in \mathbb{N}$ tel que $|z-(g_N^{\prime \prime }{)}^{p_N}|<\frac{1}{\sqrt{2}}$. Donc $\exists g\in \mathcal{A},\exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast },|z-g^n|<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Question 3

Soit $z\in G$. D'après la question 2, il existe $g\in \mathcal{A}$ et $n\in \mathbb{N}$ tels que $\left|z-g^n\right|<\frac{1}{\sqrt{2}}$. Donc $\left|z{g}^{-n}-1\right|=|z-g^n|<\frac{1}{\sqrt{2}}$. Donc $z{g}^{-n}\in \mathcal{A}\subset H$. Comme $g^n\in H$, $z=z{g}^{-n}{g}^n\in H$. D'où $G\subset H\subset G$ donc $G=H$.

Question 4

Supposons $G$ fini. Si $G=\{1\}$, $\mathcal{A}=\{1\}$, donc $H=\{1\}$, donc $G=H$.

Supposons $|G|>1$. Pour tout $g\in G$, notons ${\theta }_g$ son argument dans $[0,2\pi [$.

Posons $B=\{{\theta }_g\mid g\in G\}\subset [0,2\pi [$. $B\setminus \{0\}$ est une partie finie non vide de $\mathbb{R}$, donc admet un minimum. Soit $h\in G$ tel que ${\theta }_h=\min B$.

Soit $g\in G$. Il existe $q\in \mathbb{N}$ et $r\in [0,{\theta }_h[$ tel que ${\theta }_g=q{\theta }_h+r$. Or, ${\theta }_{g{h}^{-q}}={\theta }_g-q{\theta }_h=r\in [0,{\theta }_h[$. Par minimalité de ${\theta }_h$, $r=0$, donc $g=h^q$, d'où $G=\{h^n\mid n\in \mathbb{N}\}$.

Il existe $q\in \mathbb{N}$ et $r\in [0,2\pi [$ tel que $2\pi =q{\theta }_h+r$. ${\theta }_{h^{q+1}}=(q+1){\theta }_h-2\pi ={\theta }_h-r\in ]0,{\theta }_h]$. Par minimalité de ${\theta }_h$, ${\theta }_h-r={\theta }_h$, donc $r=0$, donc ${\theta }_h=\frac{2\pi }{q}$, d'où $G=\{\exp (in\frac{2\pi }{q})\mid n\in [[0,q-1]]\}$.

On remarque que :

Donc :

Si $2\le q\le \frac{\pi }{\arcsin \frac{1}{2\sqrt{2}}}$, $H=\{1\}$ et $G\ne \{1\}$.

Si $q>\frac{\pi }{\arcsin \frac{1}{2\sqrt{2}}}$, $h\in H$ donc $G=<h>\subset H\subset G$.

Le résultat subsiste donc si et seulement si $|G|=1$ ou $|G|>\frac{\pi }{\arcsin \frac{1}{2\sqrt{2}}}$.