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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.
Soit . Considérons où . Montrer que tend vers lorsque tend vers lorsque :
1. est de classe sur .
2. est continue sur .
3. est continue par morceaux sur .
Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Ossama Faraji (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Si est sur , alors en intégrant par parties:
D'après l'inégalité triangulaire, on a alors:
d'où le résultat.
Soit . Puisque est continue sur le segment , on peut appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass: il existe un polynôme tel que:
On a alors pour tout :
Puisque est sur , on peut d'après la question précédente trouver un réel tel que, pour , on ait :
En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient :
Ce raisonnement étant valable pour arbitrairement petit, le résultat en découle.
Si est la fonction indicatrice d'un intervalle , alors
De même, si est une fonction en escalier sur , i.e. une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices comme ci-dessus, alors
À présent, est une fonction continue par morceaux quelconque sur . On sait alors que est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Ainsi, pour tout , il existe une fonction en escalier sur , telle que:
On a alors, pour tout
Puisque est en escalier, on peut trouver un réel tel que, pour , on ait:
En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient:
Ce raisonnement étant valable pour arbitrairement petit, le résultat en découle.
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.