Exo Maths X MP #64 - Limite d'une suite d'intégrales

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit $f:[a,b]\to \mathbb{C}$. Considérons $I_{\lambda }={\int }_a^{b}f(t)e^{i\lambda t}dt$ où $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que $I_{\lambda }$ tend vers $0$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ lorsque :

1. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$.

2. $f$ est continue sur $[a,b]$.

3. $f$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Ossama Faraji (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Si $f$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, alors en intégrant par parties:

D'après l'inégalité triangulaire, on a alors:

d'où le résultat.

Question 2

Soit $\epsilon >0$. Puisque $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, on peut appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass: il existe un polynôme $P$ tel que:

On a alors pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ :

Puisque $P$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, on peut d'après la question précédente trouver un réel $A$ tel que, pour $\lambda \ge A$, on ait :

En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient :

Ce raisonnement étant valable pour $\epsilon$ arbitrairement petit, le résultat en découle.

Question 3

Si $f$ est la fonction indicatrice d'un intervalle $J\subseteq [a,b]$, alors

De même, si $f$ est une fonction en escalier sur $[a,b]$, i.e. une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices comme ci-dessus, alors $|I_{\lambda }|\underset{\lambda \to +\infty }{\to }0.$

À présent, $f$ est une fonction continue par morceaux quelconque sur $[a,b]$. On sait alors que $f$ est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Ainsi, pour tout $\epsilon >0$, il existe une fonction en escalier $\phi$ sur $[a,b]$, telle que:

On a alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}:$

Puisque $\phi$ est en escalier, on peut trouver un réel $A$ tel que, pour $\lambda \ge A$, on ait:

En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient:

Ce raisonnement étant valable pour $\epsilon$ arbitrairement petit, le résultat en découle.