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Exo Maths X MP #64 - Limite d'une suite d'intégrales


Published
Revised
May 25, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit . Considérons . Montrer que  tend vers  lorsque  tend vers  lorsque :

1.  est de classe  sur .

2.  est continue sur .

3.  est continue par morceaux sur .

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Ossama Faraji (MP*, Lydex) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Si  est  sur , alors en intégrant par parties:



D'après l'inégalité triangulaire, on a alors:



d'où le résultat.

Question 2

Soit . Puisque  est continue sur le segment , on peut appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass: il existe un polynôme  tel que:



On a alors pour tout  :



Puisque  est  sur , on peut d'après la question précédente trouver un réel  tel que, pour , on ait :



En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient :



Ce raisonnement étant valable pour  arbitrairement petit, le résultat en découle.

Question 3

Si  est la fonction indicatrice d'un intervalle , alors



De même, si  est une fonction en escalier sur , i.e. une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices comme ci-dessus, alors 

À présent,  est une fonction continue par morceaux quelconque sur . On sait alors que  est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Ainsi, pour tout , il existe une fonction en escalier  sur , telle que:



On a alors, pour tout 



Puisque  est en escalier, on peut trouver un réel  tel que, pour , on ait:



En combinant les deux inégalités qui précèdent, on obtient:



Ce raisonnement étant valable pour  arbitrairement petit, le résultat en découle.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.