[Preuve] Unicité de la limite d'une suite

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July 17, 2020

Il y a 4 années

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Toute suite convergente admet nécessairement une seule et unique limite.

Définition de la convergence d'une suite : $lim u_{n} = l$

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ < ε

Soit $(u_{n})$ une suite convergente.

Supposons que $(u_{n})$ admet deux limites $l_{1}$ et $l_{2}$ , montrons que $l_{1} = l_{2}$ :

{lim u_{n} = l_{1} lim u_{n} = l_{2}

Soit $ε > 0$ , par hypothèse, en utilisant la définition de la convergence d'une suite :

{\exists N_{1} \in N, \forall n \geq N_{1}, ∣ u_{n} - l_{1} ∣ < ε \exists N_{2} \in N, \forall n \geq N_{2}, ∣ u_{n} - l_{2} ∣ < ε

Posons $N_{0} = max (N_{1}, N_{2})$ .

Nous avons donc $\forall n \geq N_{0}$ :

{∣ u_{n} - l_{1} ∣ < ε ∣ u_{n} - l_{2} ∣ < ε

Utilisons l'inégalité triangulaire sur $∣ l_{1} - l_{2} ∣$ :

∣ l_{1} - l_{2} ∣ = ∣ l_{1} - u_{n} + u_{n} - l_{2} ∣ \leq ∣ u_{n} - l_{1} ∣ + ∣ u_{n} - l_{2} ∣ < ε + ε = 2 ε

\forall ε > 0, ∣ l_{1} - l_{2} ∣ < 2 ε ⟺ ∣ l_{1} - l_{2} ∣ = 0 ⟹ l_{1} = l_{2}

Toute suite convergente réelle admet une seule et unique limite.

Sofiane Maths

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