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Exo Maths X MP #27 - Croissance globale sans croissance locale


Published
Revised
December 1, 2020
10 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Construire  continue et croissante de  dans  telle que  et  n'est strictement croissante sur aucun sous-intervalle de .

Merci à Arthur Dremeaux d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Yessine Marrekchi (MP*, IPEST) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

On construit par récurrence une suite de fonctions  de  dans  telle que pour tout , il existe  tels que  et  est affine strictement croissante sur  si  est pair et constante sinon.

Construction de . On choisit  et  vérifie bien la propriété souhaitée.

Construction de  à partir de . Par hypothèse de récurrence, il existe  tels que  et et  est affine strictement croissante sur  si  est pair et constante sinon :

  • Si  est pair, alors on pose  et . On pose  sur ,  sur  et  affine reliant  à  sur .
  • Si  est impair, alors on pose  =  sur .

 vérifie bien la propriété souhaitée.

Par construction,  et , donc  et , et donc .

Soit . Par construction,  est décroissante. De plus, par construction, les  sont croissantes et , donc  est minorée par . Ainsi, elle est convergente et  converge simplement vers une fonction .

Comme les  sont croissantes,  est aussi croissante.

Par construction, les segments  sont de longueur inférieure à  et  est aussi un segment de longueur inférieure à .

Soit  et .  appartient à un segment . Par construction :

  •  et ,
  •  par croissance de  et ,
  • .

On en déduit que  et donc que . La convergence est uniforme et  est continue par continuité des .

Soit  un intervalle de  de longueur . Il existe  tel que , donc  est constante sur un intervalle  de . Par construction,  sur  donc  n'est pas strictement croissante sur .

Conclusion :  est continue, croissante sur  et . Par contre,  n'est strictement croissante sur aucun sous-intervalle de 


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.