Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #27 - Croissance globale sans croissance locale


Published
Revised
December 1, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Construire  continue et croissante de  dans  telle que  et  n'est strictement croissante sur aucun sous-intervalle de .

Merci à Arthur Dremeaux d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Yessine Marrekchi (MP*, IPEST) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

On construit par récurrence une suite de fonctions  de  dans  telle que pour tout , il existe  tels que  et  est affine strictement croissante sur  si  est pair et constante sinon.

Construction de . On choisit  et  vérifie bien la propriété souhaitée.

Construction de  à partir de . Par hypothèse de récurrence, il existe  tels que  et et  est affine strictement croissante sur  si  est pair et constante sinon :

  • Si  est pair, alors on pose  et . On pose  sur ,  sur  et  affine reliant  à  sur .
  • Si  est impair, alors on pose  =  sur .

 vérifie bien la propriété souhaitée.

Par construction,  et , donc  et , et donc .

Soit . Par construction,  est décroissante. De plus, par construction, les  sont croissantes et , donc  est minorée par . Ainsi, elle est convergente et  converge simplement vers une fonction .

Comme les  sont croissantes,  est aussi croissante.

Par construction, les segments  sont de longueur inférieure à  et  est aussi un segment de longueur inférieure à .

Soit  et .  appartient à un segment . Par construction :

  •  et ,
  •  par croissance de  et ,
  • .

On en déduit que  et donc que . La convergence est uniforme et  est continue par continuité des .

Soit  un intervalle de  de longueur . Il existe  tel que , donc  est constante sur un intervalle  de . Par construction,  sur  donc  n'est pas strictement croissante sur .

Conclusion :  est continue, croissante sur  et . Par contre,  n'est strictement croissante sur aucun sous-intervalle de 


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.