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Exo Maths X MP #39 - Imparité de la somme des puissances des racines


Published
Revised
December 29, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit .

1. Montrer que  a 3 racines réelles  et que .

2. Soit  la suite définie par :



Montrer que  est une suite à valeurs dans les entiers impairs.

3. Montrer que .

Merci à Gabriel Chan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

On a :



Par le théorème des valeurs intermédiaires,  admet une racine dans chacun des intervalles , et ce sont les seules puisque  est de degré . De plus la plus grande racine  de  vérifie .

Question 2

Pour , on remarque que:



Les relations coefficients-racines nous donnent :



Ainsi, pour  :



Montrons alors par récurrence triple que  est un entier impair pour .

Initialisation : On a , puis  d'après les relations coefficients-racines, et enfin, d'après ces mêmes relations :



Donc  sont des entiers impairs.

Hérédité : Supposons  entiers impairs. Alors  est entier et de plus:



Donc  est impair.

Question 3

Remarquons que :



En particulier, .

De plus, . Comme  et , 

Si  est pair non nul,  et  car . D'où :




Donc , et donc .

Si  est impair,  car . D'où :



De plus, on a comme précédemment:



Donc , et donc .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.