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Exo Maths X MP #35 - Produit des distances


Published
Revised
December 23, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit  et  des nombres complexes de module 1.

Majorer .

Merci à Dan Berrebbi d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Othmane Hadi (MP, Al-Khansaa) et Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

La solution ci-dessous démontre un résultat largement hors-programme. Si vous avez une solution sans hors-programme, envoyez une photo à Lucas Willems.

Étape 1 : Matrice de Vandermonde.

Soit  nombres complexes de module 1. On remarque que la matrice  de Vandermonde a pour déterminant :



Donc :



De même, on a :



Donc :



Étape 2 : Inégalité d'Hadamard.

On munit  de la norme définie par : pour tout ,. Montrons l'inégalité d'Hadamard, i.e. que pour toute matrice  :



On définit l'application  de  par : pour tout  et, . Cette application définit un produit dit hermitien, qui vérifie des propriétés analogues au produit scalaire canonique sur  :

  • pour tout  , , , , ,
  • elle est positive et définie,
  •  définit une norme sur ,
  •  (inégalité de Cauchy-Schwartz).

Si  est non inversible, l'inégalité est immédiate.

Sinon,  est une base de , et grâce au procédé de Gram-Schimdt (démonstration formellement identique à celle sur ), on peut donc construire une base  telle que les vecteurs soient de norme  et orthogonaux pour le produit hermitien et telle que la matrice  de passage de  dans  soit triangulaire supérieure.

De plus, comme , on a  et pour tout  :



Autrement dit, . Ainsi, . Comme  est triangulaire, . Donc, par l'inégalité de Cauchy-Schwartz,. Donc :



Étape 3 : Le majorant.

Comme tous les vecteurs colonne de  sont unitaires pour la norme , en appliquant l'inégalité d'Hadamard à , on obtient :



Donc :



et ce majorant est atteint pour  car :



avec .  est un polynôme unitaire de degré , dont les racines sont les  pour les . Donc . On en conclut que  et :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.