Exo Maths X MP #35 - Produit des distances

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

Soit $n\ge 2$ et $u_1,...,u_n$ des nombres complexes de module 1.

Majorer $({\prod }_{(i,j)\mid i\ne j}|u_i-u_j|{)}^{\frac{1}{n(n-1)}}$.

Merci à Dan Berrebbi d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Othmane Hadi (MP, Al-Khansaa) et Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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La solution ci-dessous démontre un résultat largement hors-programme. Si vous avez une solution sans hors-programme, envoyez une photo à Lucas Willems.

Étape 1 : Matrice de Vandermonde.

Soit $u_1,...,u_n$ nombres complexes de module 1. On remarque que la matrice $A=(u_j^{i-1}{)}_{1\le i,j\le n}$ de Vandermonde a pour déterminant :

Donc :

De même, on a :

Donc :

Étape 2 : Inégalité d'Hadamard.

On munit ${\mathbb{C}}^n$ de la norme définie par : pour tout $X=(x_1,...,x_n{)}^T\in {\mathbb{C}}^n$,${\Vert X\Vert }_2=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^2}$. Montrons l'inégalité d'Hadamard, i.e. que pour toute matrice $M=\left(C_1...C_n\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ :

On définit l'application $⟨.,.⟩$ de $({\mathbb{C}}^n{)}^2$ par : pour tout $X=(x_1,...,x_n{)}^T$ et$Y=(y_1,...,y_n{)}^T$, $⟨X,Y⟩={\sum }_{i=1}^n\overline{x_i}{y}_i$. Cette application définit un produit dit hermitien, qui vérifie des propriétés analogues au produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}$ :

• pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ , $X,Y\in {\mathbb{C}}^n$, $⟨X,Y⟩=\overline{⟨Y,X⟩}$, $⟨\lambda X,Y⟩=\overline{\lambda }⟨X,Y⟩$, $⟨X,\lambda Y⟩=\lambda ⟨X,Y⟩$,
• elle est positive et définie,
• $X\mapsto \sqrt{⟨X,X⟩}=||X|{|}_2$ définit une norme sur ${\mathbb{C}}^n$,
• $\left|⟨X,Y⟩\right|\le \Vert X\Vert \Vert Y\Vert$ (inégalité de Cauchy-Schwartz).

Si $A$ est non inversible, l'inégalité est immédiate.

Sinon, $(C_1,...,C_n)$ est une base de ${\mathbb{C}}^n$, et grâce au procédé de Gram-Schimdt (démonstration formellement identique à celle sur $\mathbb{R}$), on peut donc construire une base $(E_1,...,E_n)$ telle que les vecteurs soient de norme $1$ et orthogonaux pour le produit hermitien et telle que la matrice $P$ de passage de $(C_1,...,C_n)$ dans $(E_1,...,E_n)$ soit triangulaire supérieure.

De plus, comme $C_j={\sum }_{i=1}^n⟨E_i,C_j⟩E_i$, on a $P_{ij}=⟨E_i,C_j⟩$ et pour tout $(i,j)$ :

Autrement dit, ${\overline{M}}^{T}M=P{\overline{P}}^T$. Ainsi, $|\text{det}(M){|}^2={\left|\text{det}(P)\right|}^2$. Comme $P$ est triangulaire, $\text{det}(P)={\prod }_{i=1}^n⟨e_i,C_i⟩$. Donc, par l'inégalité de Cauchy-Schwartz,${\left|\text{det}(M)\right|}^2\le {\prod }_{i=1}^n{\Vert E_i\Vert }^2{\Vert C_i\Vert }^2=({\prod }_{i=1}^n\Vert C_i\Vert {)}^2$. Donc :

Étape 3 : Le majorant.

Comme tous les vecteurs colonne de $A$ sont unitaires pour la norme $\Vert .{\Vert }_2$, en appliquant l'inégalité d'Hadamard à $A$, on obtient :

Donc :

et ce majorant est atteint pour $u_i=w^{i-1}$ où $w=\exp (\frac{2i\pi }{n})$ car :

avec $f(x)={\prod }_{l=1}^{n-1}(x-w^l)$. $f$ est un polynôme unitaire de degré $n-1$, dont les racines sont les $w^l$ pour les $l\in [[1,n-1]]$. Donc $f(x)=\frac{x^n-1}{x-1}={\sum }_{l=0}^{n-1}{x}^l$. On en conclut que $f(1)=n$ et :