Dérivée d'une fonction paire/impaire

Démonstration rédigée avec 🥰 par Manuel, prof particulier de maths. Pour réussir votre prépa, demandez son aide ici.

Dans toute la suite, on suppose que $I$ est un intervalle réel symétrique (i.e. si $x\in I$, alors $-x\in I$).

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur $I$.

• $f$ est dite paire si $\forall x\in I,f(-x)=f(x)$.
• $f$ est dite impaire si $\forall x\in I,f(-x)=-f(x)$.

Théorème. Soit $f$ est une fonction définie sur $I$ et dérivable sur $I$. Alors :

• Si $f$ est paire, alors sa dérivée $f^{\prime }$ est impaire.
• Si $f$ est impaire, alors sa dérivée $f^{\prime }$ est paire.

Démonstrations

Notons $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=-x$. Cette fonction est dérivable sur $I$, de dérivée $g^{\prime }(x)=-1$.

Cas $f$ paire.

Dire que $f$ est paire revient à dire que $f\circ g=f$ sur $I$.

Soit $x\in I$. Par la formule de dérivation des fonctions composées :

Par conséquent, $-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$. En multipliant par $-1$ :

L'égalité est vraie quelque soit $x\in I$; ainsi $f^{\prime }$ est impaire.

Cas $f$ impaire.

Dire que $f$ est impaire revient à dire que $f\circ g=-f$ sur $I$.

Soit $x\in I$. Par la formule de dérivation des fonctions composées :

Par conséquent, $-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$. En multipliant par $-1$ :

L'égalité est vraie quelque soit $x\in I$; ainsi $f^{\prime }$ est paire.