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Dérivée d'une fonction paire/impaire


Published
Revised
September 15, 2020
3 weeks ago

Démonstration rédigée avec 🥰 par Manuel, prof particulier de maths. Pour réussir votre prépa, demandez son aide ici.

Dans toute la suite, on suppose que  est un intervalle réel symétrique (i.e. si , alors ).

Définition. Soit  une fonction définie sur .

  •  est dite paire si .
  •  est dite impaire si .

Théorème. Soit  est une fonction définie sur  et dérivable sur . Alors :

  • Si  est paire, alors sa dérivée  est impaire.
  • Si  est impaire, alors sa dérivée  est paire.

Démonstrations

Notons  la fonction définie sur  par . Cette fonction est dérivable sur , de dérivée .

Cas  paire.

Dire que  est paire revient à dire que  sur .

Soit . Par la formule de dérivation des fonctions composées :



Par conséquent, . En multipliant par  :



L'égalité est vraie quelque soit ; ainsi  est impaire.

Cas  impaire.

Dire que  est impaire revient à dire que  sur .

Soit . Par la formule de dérivation des fonctions composées :



Par conséquent, . En multipliant par  :



L'égalité est vraie quelque soit ; ainsi  est paire.


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