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Dérivée d'une composition de fonctions et démonstration


Published
Revised
June 29, 2020
1 month ago

La dérivée d'une composition de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée d'une composition de fonctions. Si  et  sont deux fonctions réelles dérivables respectivement en  et , alors  est dérivable en  et :



Démonstration

Pour montrer que  est dérivable en , il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de  en  :



Lorsqu'on essaie de calculer la dérivée d'une combinaison de fonctions, une technique classique consiste à faire apparaître le taux d'accroissement des fonctions de la combinaison. C'est ce que nous avons fait pour calculer la dérivée d'un produit de fonctions ou d'un quotient de fonctions.

Nous pouvons donc être tentés de faire apparaître le taux d'accroissement de  en  :



Le problème ici est que rien nous assure que  ne s'annule pas. Introduire le taux d'accroissement de  ne va pas nous aider ici.

Plutôt, nous allons utiliser une autre technique. Nous allons utiliser le fait que si  est dérivable en , alors :



 est une fonction réelle telle que .

En remplaçant  par ,  par  et  par  :



Donc :



Comme  est dérivable en  et , nous pouvons conclure :



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