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La dérivée d'une composition de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.
Dérivée d'une composition de fonctions. Si et sont deux fonctions réelles dérivables respectivement en et , alors est dérivable en et :
Pour montrer que est dérivable en , il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de en :
Lorsqu'on essaie de calculer la dérivée d'une combinaison de fonctions, une technique classique consiste à faire apparaître le taux d'accroissement des fonctions de la combinaison. C'est ce que nous avons fait pour calculer la dérivée d'un produit de fonctions ou d'un quotient de fonctions.
Nous pouvons donc être tentés de faire apparaître le taux d'accroissement de en :
Le problème ici est que rien nous assure que ne s'annule pas. Introduire le taux d'accroissement de ne va pas nous aider ici.
Plutôt, nous allons utiliser une autre technique. Nous allons utiliser le fait que si est dérivable en , alors :
où est une fonction réelle telle que .
En remplaçant par , par et par :
Donc :
Comme est dérivable en et , nous pouvons conclure :
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