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Exo Maths X MP #20 - Propriétés des fonctions cadlag


Published
Revised
November 4, 2020
11 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Une fonction  est dite cadlag si elle est continue à droite en tout point de  et admet une limite à gauche en tout point de .

On dit que  saute en  si  et que la taille du saut est .

1. Une limite simple de fonctions cadlag est-elle cadlag ?

2. Montrer qu'une fonction cadlag à valeurs dans  a un nombre fini de sauts.

3. Montrer que  est fini.

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

La réponse est non. Par exemple, les fonctions  sont continues sur  donc cadlag, mais convergent simplement vers l'indicatrice de  sur  pas continue à droite en , donc pas cadlag.

Question 2

Soit  une fonction cadlag à valeurs dans . Soit  l'ensemble des sauts et supposons le infini.

Il existe une suite  injective d'éléments de .  est à valeurs dans , donc est bornée. Par Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de  une suite  telle que .

Cette injectivité nous dit qu'au plus un terme de  est égal à . Donc  ou  est infini.

Supposons  infini :

  • Nécessairement,  et  admet une limite à gauche de .
  • Comme  est à valeur dans , il existe  tel que  soit constante sur .
  • Comme  est infini, on peut extraire de  une suite  à valeur dans .
  • Comme , il existe  tel que  Autrement dit,  saute sur , ce qui est absurde puisque  est constante sur .

Supposons  infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc  est fini.

Question 3

Soit  une fonction cadlag. Soit  l'ensemble des sauts de taille supérieure à  et supposons le infini.

Reprenons les mêmes constructions que celles de la question 2 :

  •  une suite injective d'éléments de  telle que ,
  •  et .

Supposons  infini :

  • Nécessairement,  et  admet une limite à gauche de . Notons  la limite de  à gauche de .
  • Il existe  tel que . Donc par l'inégalité triangulaire, .
  • Comme  est infini, on peut extraire de  une suite  à valeur dans .
  • Comme , il existe  tel que  Autrement dit,  fait un saut de taille supérieure à  sur , ce qui est absurde puisque .

Supposons  infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc  est fini.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.