Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #20 - Propriétés des fonctions cadlag


Published
Revised
November 4, 2020
1 week ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Une fonction  est dite cadlag si elle est continue à droite en tout point de  et admet une limite à gauche en tout point de .

On dit que  saute en  si  et que la taille du saut est .

1. Une limite simple de fonctions cadlag est-elle cadlag ?

2. Montrer qu'une fonction cadlag à valeurs dans  a un nombre fini de sauts.

3. Montrer que  est fini.

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

La réponse est non. Par exemple, les fonctions  sont continues sur  donc cadlag, mais convergent simplement vers l'indicatrice de  sur  pas continue à droite en , donc pas cadlag.

Question 2

Soit  une fonction cadlag à valeurs dans . Soit  l'ensemble des sauts et supposons le infini.

Il existe une suite  injective d'éléments de .  est à valeurs dans , donc est bornée. Par Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de  une suite  telle que .

Cette injectivité nous dit qu'au plus un terme de  est égal à . Donc  ou  est infini.

Supposons  infini :

  • Nécessairement,  et  admet une limite à gauche de .
  • Comme  est à valeur dans , il existe  tel que  soit constante sur .
  • Comme  est infini, on peut extraire de  une suite  à valeur dans .
  • Comme , il existe  tel que  Autrement dit,  saute sur , ce qui est absurde puisque  est constante sur .

Supposons  infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc  est fini.

Question 3

Soit  une fonction cadlag. Soit  l'ensemble des sauts de taille supérieure à  et supposons le infini.

Reprenons les mêmes constructions que celles de la question 2 :

  •  une suite injective d'éléments de  telle que ,
  •  et .

Supposons  infini :

  • Nécessairement,  et  admet une limite à gauche de . Notons  la limite de  à gauche de .
  • Il existe  tel que . Donc par l'inégalité triangulaire, .
  • Comme  est infini, on peut extraire de  une suite  à valeur dans .
  • Comme , il existe  tel que  Autrement dit,  fait un saut de taille supérieure à  sur , ce qui est absurde puisque .

Supposons  infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc  est fini.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.