Exo Maths X MP #20 - Propriétés des fonctions cadlag

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Une fonction $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ est dite cadlag si elle est continue à droite en tout point de $[0,1[$ et admet une limite à gauche en tout point de $]0,1]$.

On dit que $f$ saute en $x\in ]0,1[$ si ${\lim }_{y\to x^{-}}f(y)\ne {\lim }_{y\to x^{+}}f(y)$ et que la taille du saut est $t(x)=\left|{\lim }_{y\to x^{-}}f(y)-{\lim }_{y\to x^{+}}f(y)\right|$.

1. Une limite simple de fonctions cadlag est-elle cadlag ?

2. Montrer qu'une fonction cadlag à valeurs dans $\{0,1\}$ a un nombre fini de sauts.

3. Montrer que $S_n=\{x\in ]0,1[|t(x)\ge 1/n\}$ est fini.

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

La réponse est non. Par exemple, les fonctions $f_n:x⟼(1-x{)}^n$ sont continues sur $\left[0,1\right]$ donc cadlag, mais convergent simplement vers l'indicatrice de $\{0\}$ sur $[0,1]$ pas continue à droite en $0$, donc pas cadlag.

Question 2

Soit $f$ une fonction cadlag à valeurs dans $\{0,1\}$. Soit $S$ l'ensemble des sauts et supposons le infini.

Il existe une suite $(u_n)$ injective d'éléments de $S$. $(u_n)$ est à valeurs dans $\left[0,1\right]$, donc est bornée. Par Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de $(u_n)$ une suite $(v_n)$ telle que $v_n⟶l\in [0,1]$.

Cette injectivité nous dit qu'au plus un terme de $(v_n)$ est égal à $l$. Donc $L=\{n\in \mathbb{N}\mid v_n<l\}$ ou $R=\{n\in \mathbb{N}\mid v_n>l\}$ est infini.

Supposons $L$ infini :

• Nécessairement, $l>0$ et $f$ admet une limite à gauche de $l$.
• Comme $f$ est à valeur dans $\{0,1\}$, il existe $\alpha >0$ tel que $f$ soit constante sur $[l-\alpha ,l[$.
• Comme $L$ est infini, on peut extraire de $(v_n)$ une suite $(w_n)$ à valeur dans $L$.
• Comme $w_n⟶l$, il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que $w_{n_0}\in [l-\alpha /2,l[.$ Autrement dit, $f$ saute sur $[l-\alpha /2,l[$, ce qui est absurde puisque $f$ est constante sur $[l-\alpha ,l[$.

Supposons $R$ infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc $S$ est fini.

Question 3

Soit $f$ une fonction cadlag. Soit $S_n$ l'ensemble des sauts de taille supérieure à $1/n$ et supposons le infini.

Reprenons les mêmes constructions que celles de la question 2 :

• $(v_n)$ une suite injective d'éléments de $S_n$ telle que $v_n⟶l\in [0,1]$,
• $L=\{n\in \mathbb{N}\mid v_n<l\}$ et $R=\{n\in \mathbb{N}\mid v_n>l\}$.

Supposons $L$ infini :

• Nécessairement, $l>0$ et $f$ admet une limite à gauche de $l$. Notons $f(l^{-})$ la limite de $f$ à gauche de $l$.
• Il existe $\alpha >0$ tel que $\forall x\in [l-\alpha ,l[,|f(x)-f(l^{-})|<\frac{1}{4n}$. Donc par l'inégalité triangulaire, $\forall x_1,x_2\in [l-\alpha ,l[,|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{1}{2n}$.
• Comme $L$ est infini, on peut extraire de $(v_n)$ une suite $(w_n)$ à valeur dans $L$.
• Comme $w_n⟶l$, il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que $w_{n_0}\in [l-\alpha /2,l[.$ Autrement dit, $f$ fait un saut de taille supérieure à $1/n$ sur $[l-\alpha /2,l[$, ce qui est absurde puisque $\forall x_1,x_2\in [l-\alpha ,l[,|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{1}{2n}$.

Supposons $R$ infini. Puisque continuité à droite implique limite à droite, un raisonnement similaire mène aussi à une absurdité.

On en déduit donc que l'hypothèse initiale est absurde. Donc $S_n$ est fini.