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Exo Maths X MP #36 - Dérivées partielles


Published
Revised
December 24, 2020
9 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un ouvert non vide de . Soit  de classe . On définit, pour tout  de classe , . Si  de classe  tel que , on admet que .

Montrer que .

Merci à Clément Rieutord d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Idriss Malek (MP*, Ibn Ghazi) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Étape 1 : Expression de .

Commençons par montrer que :



Soit  tel que . On a :



Notons .

a.  est intégrable sur .

b.  est dérivable sur  car  est  et :



où ,  désigne la dérivée partielle de  par rapport à la -ème coordonnée de son premier paramètre et  la dérivée partielle de  par rapport à la -ème coordonnée de son deuxième paramètre.

En notant  et  :



De plus,  est continue sur  car  est de classe  et  et  sont de classe .

c.  est continue sur , donc  est bornée sur .

d.  est continue sur .

D'après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres :



Donc :



En réalisant une intégration par partie :



D'après l'énoncé, , donc , donc :



Étape 2 : .

D'après l'énoncé, . Donc, pour tout  de classe  tel que  :



Supposons qu'il existe  et  tels que la -ème coordonnée du vecteur soit non nulle. Par continuité de , on peut supposer que  et qu'il existe  tel que pour tout , la -ème coordonnée de  soit non nulle et de signe constant.

Prenons alors  pour tout  et :



 est de classe  et . De plus, on a nécessairement :



ce qui est absurde. Par conséquent, pour tout  :



et donc :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.