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Exo Maths X MP #4 - Décomposition d'un polynôme positif


Published
Revised
September 18, 2020
13 hours ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

1. Soit  tel que . Montrer que  tels que .

2. Soit  tel que . Montrer que  tels que .

Correction

Bravo à Abdaloidoud Zouliami (MP* à Claude-Fauriel) et à Fabien Pourre (MP à Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  positif sur .

Décomposons  en produit de polynômes irréductibles sur  :



avec  et .

Remarquons que :

  •  étant positif, les  sont pairs car sinon  changerait de signe en .
  •  est à coefficients réels et n'a pas de racine réelle, donc il admet deux racines complexes conjugués  et .
  •  est positif car  et  le sont.

Ainsi :



En prenant le polynôme complexe , on a . Or, , donc .

Question 2

Soit  un polynôme positif sur .

Décomposons  en produit de polynômes irréductibles sur  :



avec  et .

Remarquons que :

  •  ne change pas de signe sur  et tend vers  en , donc il est positif sur .
  • Si , alors  est pair car sinon  changerait de signe en . Donc  est positif sur .
  •  est positif car  et  le sont sur .

Ainsi, en notant  et  :



avec  un polynôme réel positif sur  et .

En développant le produit, on obtient un polynôme à coefficients positifs  :



On remarque que  et  sont des polynômes réels positifs. Donc il existe  deux polynômes réels positifs tels que . Et grâce à la question 1, il existe  tels que :



Question 2 (solution bis)

Soit  un polynôme positif sur .

Décomposons  en produit de polynômes irréductibles dans  :



avec  et .

Remarquons que chaque terme du produit se met sous la forme  :

  •  et  sont positifs sur  donc  donc .
  • Si  est pair, ie. , alors .
  • Si  est impair, ie. , alors  sinon  changerait de signe sur , et alors .
  • . Donc .

Remarquons que :



Nous pouvons alors conclure : chaque terme du produit est de la forme  et le produit de termes de cette forme est encore de cette forme. Donc  est de la forme .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.