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Exo Maths X MP #47 - Convergence des puissances d'une matrice


Published
Revised
January 19, 2021
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  telle que  converge vers une matrice .

1. Que dire des valeurs propres de  ?

2. Montrer que  est diagonalisable.

3. Si  et , que vaut  ? Que dire de  ?

Merci à Ismail Labiad d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Yessine Marrekchi (MP*, IPEST) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  une valeur propre de  et  tel que 

. Comme  et que l'application  est continue, , donc  converge et  aussi. Ainsi,  ou .

Question 2

Comme , on a d'une part  et d'autre part . Par unicité de la limite, . Autrement dit, le polynôme  scindé à racine simple annule .  est donc diagonalisable.

Question 3

 est trigonalisable, i.e.  avec . Comme , . Les valeurs propres de  sont donc nulles.  étant diagonalisable d'après , on en déduit que .

Soit . Comme ,  est une suite d'entiers convergeant vers  donc elle est stationnaire à , i.e. .

Pour , . Donc  est nilpotente.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.