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Exo Maths X MP #41 - Dénombrement des fonctions aux itérés s'annulant


Published
Revised
December 31, 2020
6 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Dénombrer les fonctions  de  dans  telles que :



 désigne  composée  fois avec elle-même.

Merci à Arthur Dremeaux d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Othmane Hadi (MP, Al-Khansaa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Plaçons nous dans un cadre plus général. Si  et  sont deux ensembles disjoints de cardinal , on note :



Soit . Si , alors . Si , alors  équivaut à . Ainsi :



Pour dénombrer , il suffit donc de faire une disjonction de cas sur le cardinal de  :

  • Il n'y a aucune application  telle que  i.e..
  • Il y a  applications  telles que  i.e. .
  • Soit . Il y a  applications  telles que . Il y a donc  applications  telles que .

Ainsi :



Montrons par récurrence forte sur  que :



Initialisation : . . Soit  et . Il y a une seule application , celle qui envoie  sur . Or, .

Hérédité. Supposons que  pour tout  tels que . Soit  tels que .

Pour tout , . Donc par hypothèse de récurrence :



Comme  :



Conclusion. Nous avons donc bien :



Ainsi, .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.