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Exo Maths X MP #3 - Valeurs intermédiaires


Published
Revised
September 18, 2020
8 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

Montrer que si  est dérivable de  dans , alors  vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  dérivable. On cherche à montrer que pour , on a :



Soient  tels que . Quitte à remplacer  par , on peut supposer que . Si , la propriété est immédiate. Supposons maintenant .

On a déjà . Soit . Montrons qu'il existe  tel que . Considérons  sur .

 étant continue,  admet un maximum sur . Soit  réalisant ce maximum. On a  et donc .

Par construction, . Il existe donc  tel que . Donc . De même, par construction, . Il existe donc  tel que . Donc . Donc .

Donc  vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.