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Exo Maths X MP #3 - Valeurs intermédiaires


Published
Revised
September 18, 2020
11 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

Montrer que si  est dérivable de  dans , alors  vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit  dérivable. On cherche à montrer que pour , on a :



Soient  tels que . Quitte à remplacer  par , on peut supposer que . Si , la propriété est immédiate. Supposons maintenant .

On a déjà . Soit . Montrons qu'il existe  tel que . Considérons  sur .

 étant continue,  admet un maximum sur . Soit  réalisant ce maximum. On a  et donc .

Par construction, . Il existe donc  tel que . Donc . De même, par construction, . Il existe donc  tel que . Donc . Donc .

Donc  vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.