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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.
Existe-t-il un -espace vectoriel de dimension finie, et tels que soit dense dans ?
Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
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Supposons qu'il existe un espace vectoriel normé de dimendion finie , et tels que soit dense dans .
est un sous-espace vectoriel de . Comme est de dimension finie, est un fermé. Et comme est dense dans et inclus dans , , i.e. .
Soit une base de avec .
Soit . Par densité de dans , il existe tel que . Pour tout :
Et donc :
Ainsi, , ce qui est absurde puisque qu'en prenant , on aurait , et en prenant , on aurait .
Exos Maths X MP
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