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Exo Maths X MP #57 - Densité d'un itéré


Published
Revised
March 2, 2021
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Existe-t-il un -espace vectoriel  de dimension finie,  et  tels que  soit dense dans  ?

Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Supposons qu'il existe  un espace vectoriel normé de dimendion finie ,  et  tels que  soit dense dans .

 est un sous-espace vectoriel de . Comme  est de dimension finie,  est un fermé. Et comme  est dense dans  et inclus dans , , i.e. .

Soit  une base de  avec .

Soit . Par densité de  dans , il existe  tel que . Pour tout  :



Et donc :



Ainsi, , ce qui est absurde puisque qu'en prenant , on aurait , et en prenant , on aurait .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.