Exo Maths X MP #46 - Une matrice diagonalisable

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

January 14, 2021

Il y a 3 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $n \geq 2$ et $w$ une racine n-ième de l'unité d'ordre $n$ (i.e. tel que $w^{k} \neq = 1$ si $0 < k < n$ ). On considère la matrice $M = (w^{(i - 1) (j - 1)})_{i, j} \in M_{n} (C)$ .

1. Calculer $M^{2}$ .

2. Montrer que $M$ est diagonalisable.

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Pour tout $i, j \in [[1, n]]$ :

[M^{2}]_{i j} = k = 1 \sum n w^{(i - 1) (k - 1)} w^{(k - 1) (j - 1)} = k = 1 \sum n (w^{i + j - 2})^{k - 1}

Si $i + j - 2 \neq \equiv 0 [n]$ :

[M^{2}]_{i j} = k = 0 \sum n - 1 (w^{i + j - 2})^{k} = \frac{1 - w ^{(i + j - 2) n}}{1 - w ^{i + j - 2}} = 0

Si $i + j - 2 \equiv 0 [n]$ :

[M^{2}]_{i j} = k = 0 \sum n - 1 1^{k} = n

On note $C = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 10 ⋮ ⋮ 0 0 ╱ 1 \dots ╱ ╱ 0 \dots ╱ ╱ ╱ \dots 010 ⋮ 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞$ . Ainsi :

M^{2} = n C

Question 2

On remarque que $C^{2} = I_{n}$ . Donc $P = X^{4} - n^{2}$ annule $M$ . Or $P$ est scindé à racines simples puisque :

X^{4} - n^{2} = (X - n) (X + n) (X - i n) (X + i n)

Donc $M$ est diagonalisable.

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