Exo Maths X MP #2 - Produit de cosinus

Exos Maths X MP

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September 18, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018. Abordable en sup.

1. Exprimer $\frac{s i n ( 4 n θ )}{s i n ( θ ) c o s ( θ )}$ sous la forme d'un polynôme en $cos^{2} (θ)$ .

2. Montrer que $\prod_{k = 1}^{2 n - 1} cos^{2} (\frac{k π}{4 n}) = \frac{n}{2 ^{4 n - 3}}$ .

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

On peut écrire:

\frac{sin ( 4 n θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{Im ( ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) ^{4 n} )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{Im ( \sum _{k = 0}^{4 n} ( k 4 n ) cos ( θ ) ^{4 n - k} i ^{k} sin ( θ ) ^{k} )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{\sum _{l = 0}^{2 n - 1} ( 2 l + 1 4 n ) cos ( θ ) ^{4 n - 2 l - 1} ( - 1 ) ^{l} sin ( θ ) ^{2 l + 1}}{cos ( θ ) sin ( θ )} = l = 0 \sum 2 n - 1 (2 l + 1 4 n) cos (θ)^{4 n - 2 l - 2} (- 1)^{l} sin (θ)^{2 l} = l = 0 \sum 2 n - 1 (2 l + 1 4 n) (cos^{2} (θ))^{2 n - l - 1} (- 1)^{l} (1 - cos^{2} (θ))^{l}

Posons alors :

P = l = 0 \sum 2 n - 1 (2 l + 1 4 n) X^{2 n - 1 - l} (X - 1)^{l}

D'après ce qui précède, on a :

\frac{sin ( 4 n θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = P (cos^{2} (θ))

Question 2

Si $θ = \frac{k π}{4 n}$ , alors $sin (4 n θ) = 0$ et :

\frac{sin ( 4 n θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = P (cos^{2} (θ)) = 0

Donc $cos^{2} (\frac{π}{4 n}), cos^{2} (\frac{2 π}{4 n}), . . ., cos^{2} (\frac{( 2 n - 1 ) π}{4 n})$ sont $2 n - 1$ racines distinctes de $P$ . Or, $P$ est de degré au plus $2 n - 1$ et $P$ n'est pas nul :

P (cos^{2} (\frac{π}{8 n})) = \frac{sin ( \frac{π}{2} )}{sin ( \frac{π}{8 n} ) cos ( \frac{π}{8 n} )} \neq = 0

Donc $P$ est de degré $2 n - 1$ . Si $P = a_{0} + a_{1} X + . . . + a_{2 n - 1} X^{2 n - 1}$ , on a donc d'après les relations coefficients racine :

k = 1 \prod 2 n - 1 cos^{2} (\frac{k π}{4 n}) = \frac{( - 1 ) ^{2 n - 1} a _{0}}{a _{2 n - 1}}

Or :

a_{0} = P (0) = (- 1)^{2 n - 1} (2 ( 2 n - 1 ) + 1 4 n) = - 4 n

a_{2 n - 1} = l = 0 \sum 2 n - 1 (2 l + 1 4 n) = l = 0 \sum 2 n - 1 ((2 l 4 n - 1) + (2 l + 1 4 n - 1)) = k = 0 \sum 4 n - 1 (k 4 n - 1) = 2^{4 n - 1}

D'où :

k = 1 \prod 2 n - 1 cos^{2} (\frac{k π}{4 n}) = \frac{- a _{0}}{a _{2 n - 1}} = \frac{- ( - 4 n )}{2 ^{4 n - 1}} = \frac{n}{2 ^{4 n - 3}}

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Exo Maths X MP #2 - Produit de cosinus

Correction

Question 1

﻿Question 2

Question 2