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Exo Maths X MP #45 - Décrire cet ensemble


Published
Revised
January 12, 2021
2 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Décrire l'ensemble  des  avec .

Merci à Romain Farthoat d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Thomas Sepulchre (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Soit . Il existe  telle que . En remarquant que :



et que , on en déduit que :



Notons .  est minoré par  et majoré par  donc . Montrons maintenant que .

Soit . Par récurrence, construisons  telle que .

Initialisation. Si , posons . Sinon, posons . On a bien .

Hérédité. Supposons  construits et .

  • Si , posons . Ainsi, . Puisque , on a donc : .
  • Si , posons . Ainsi, . Puisque , on a donc : .

Puisque , on en conclut qu'il existe  telle que , c'est-à-dire que . Ainsi, , c'est-à-dire :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.